MATHEMATICS QUESTION PAPER CBSE CLASS 12 -2022

खंड - क / SECTION-A (प्रश्न संख्या 1 से 6 तक प्रत्येक प्रश्न के 2 अंक हैं /

Question numbers 1 to 6 carry 2 marks each.) 

1.    अवकल समीकरण : (x + dy/dx)² = (dy/dx)² + 1 की कोटि और घात का योगफल ज्ञात कीजिए । (2) 

Find the sum of the order and the degree of the differential equation : (x + dy/dx)² = (dy/dx)² + 1 (2) 

2.    एक समांतर चतुर्भुज PQRS में PQ = 3i - 2j + 2k और PS = -i - 2k है । |PR| और |QS| ज्ञात कीजिए । (2) 

In a parallelogram PQRS, PQ = 3i - 2j + 2k and PS = -i - 2k. Find |PR| and |QS|. (2) 

3.    (a) यदि d/dx[F(x)] = sec⁴x / cosec⁴x और F(π/4) = π/4, तो F(x) ज्ञात कीजिए। (2) अथवा (b) ज्ञात कीजिए : ∫ (log x - 3) / (log x)⁴ dx (2) 
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(a) If d/dx[F(x)] = sec⁴x / cosec⁴x and F(π/4) = π/4, then find F(x). (2) OR (b) Find : ∫ (log x - 3) / (log x)⁴ dx (2) 
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4.    माना A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं जिनके लिए P(A) = 5/8, P(B) = 1/2 तथा P(A/B) = 3/4 है। P(B/A) का मान ज्ञात कीजिए । (2) 

Let A and B be two events such that P(A) = 5/8, P(B) = 1/2 and P(A/B) = 3/4. Find the value of P(B/A). (2) 

5.    एक थैले, जिसमें 2 लाल गेंद और 3 नीली गेंदें हैं, में से यादृच्छया दो गेंदें बिना प्रतिस्थापना के निकाली जाती हैं। माना चर X लाल गेंदों की संख्या दर्शाता है। X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए । (2) 

Two balls are drawn at random from a bag containing 2 red balls and 3 blue balls, without replacement. Let the variable X denotes the number of red balls. Find the probability distribution of X. (2) 

6.    λ के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिन्दु (2, 1, λ) की समतल 3x + 5y + 4z = 11 से दूरी 2√2 इकाई है। (2) 

Find the values of λ, for which the distance of point (2, 1, λ) from plane 3x + 5y + 4z = 11 is 2√2 units. (2) 

खंड - ख / SECTION-B (प्रश्न संख्या 7 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न के 3 अंक हैं / Question numbers 7 to 10 carry 3 marks each.) 

7.    (a) यदि a, b, c और d ऐसे चार शून्येतर सदिश हैं जिनके लिए a × b = c × d और a × c = 4b × d है, तो दर्शाइए कि सदिश (a - 2d) और (2b - c) परस्पर समांतर हैं, जहाँ a ≠ 2d, c ≠ 2b हैं। (3) अथवा (b) एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाएँ 2i - 4j - 5k एवं 2i + 2j + 3k द्वारा निरूपित हैं। इस चतुर्भुज के विकर्णों के समांतर मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। विकर्ण-सदिशों का प्रयोग करके, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए । (3) 
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(a) If a, b, c, d are four non-zero vectors such that a × b = c × d and a × c = 4b × d, then show that (a - 2d) is parallel to (2b - c) where a ≠ 2d, c ≠ 2b. (3) OR (b) The two adjacent sides of a parallelogram are represented by 2i - 4j - 5k and 2i + 2j + 3k. Find the unit vectors parallel to its diagonals. Using the diagonal vectors, find the area of the parallelogram also. (3) 
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8.    उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों r · (2i + 2j - 3k) = 7 तथा r · (2i + 5j + 3k) = 9 की प्रतिच्छेदन रेखा तथा बिंदु (2, 1, 3) से होकर जाता है। (3) 

Find the vector equation of the plane passing through the intersection of the planes r · (2i + 2j - 3k) = 7 and r · (2i + 5j + 3k) = 9 and through the point (2, 1, 3). (3) 

9.    (a) ज्ञात कीजिए: ∫ dx / (√x + ∛x) (3) अथवा (b) मान ज्ञात कीजिए : ∫[0 to π/2] cos x / ((1 + sin x)(4 + sin x)) dx (3) 
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(a) Find: ∫ dx / (√x + ∛x) (3) OR (b) Evaluate: ∫[0 to π/2] cos x / ((1 + sin x)(4 + sin x)) dx (3) 
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10.    अवकल समीकरण x dy/dx + x cos²(y/x) = y का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गया है जब x = 1, y = π/4 । (3) 

Find the particular solution of the differential equation x dy/dx + x cos²(y/x) = y; given that when x = 1, y = π/4. (3) 

खंड - ग / SECTION-C (प्रश्न संख्या 11 से 14 तक प्रत्येक के 4 अंक हैं / Question numbers 11 to 14 carry 4 marks each.) 

11.    (a) समाकलन के प्रयोग से, क्षेत्र {(x, y) : 4x² + 9y² ≤ 36, 2x + 3y ≥ 6} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । (4) अथवा (b) समाकलन के प्रयोग से, रेखाओं x - y + 1 = 0, x = -2, x = 3 और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । (4) 
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(a) Using integration, find the area of the region {(x, y) : 4x² + 9y² ≤ 36, 2x + 3y ≥ 6}. (4) OR (b) Using integration, find the area of the region bounded by lines x - y + 1 = 0, x = -2, x = 3 and x-axis. (4) 
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12.    ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता कहीं खो जाता है। बाकी पत्तों से, बिना प्रतिस्थापना के दो पत्ते यादृच्छया निकाले जाते हैं और दोनों ही इक्के पाए जाते हैं। खो गये पत्ते के इक्का का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए । (4) 

A card from a pack of 52 playing cards is lost. From the remaining cards, 2 cards are drawn at random without replacement, and are found to be both aces. Find the probability that lost card being an ace. (4) 

13.    मान ज्ञात कीजिए : ∫[0 to π] x / (1 + sin x) dx (4) 

Evaluate : ∫[0 to π] x / (1 + sin x) dx (4) 

प्रकरण अध्ययन / आँकड़ा आधारित प्रश्न CASE BASED / DATA BASED QUESTION
14.    विद्युत पारेषण तार जो सर्दियों में बिछाए जाते हैं, उन्हें गर्मियों में विस्तार को समायोजित करने के लिए कसकर फैलाया जाता है। 

दो ऐसी तारे, निम्न रेखाओं के समांतर डाली गई हैं : l₁ : (x + 1)/3 = (y - 3)/(-2) = (z + 2)/(-1) l₂ : x/(-1) = (y - 7)/3 = (z + 7)/(-2) 
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उपरोक्त सूचना पर आधारित होकर, निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : (i) क्या रेखाएँ l₁ और l₂ सहतलीय हैं? अपने उत्तर का औचित्य साबित कीजिए । (2) (ii) रेखाओं l₁ तथा l₂ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए । (2) 
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Electrical transmission wires which are laid down in winters are stretched tightly to accommodate expansion in summers. 

Two such wires lie along the following lines: l₁ : (x + 1)/3 = (y - 3)/(-2) = (z + 2)/(-1) l₂ : x/(-1) = (y - 7)/3 = (z + 7)/(-2) 
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Based on the given information, answer the following questions: (i) Are the lines l₁ and l₂ coplanar? Justify your answer. (2) (ii) Find the point of intersection of the lines l₁ and l₂. (2) 
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