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निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए- (क) यदि 30Pr = 21 * 30Pr-1 तो r का मान ज्ञात कीजिए। (ख) समीकरण sin 2θ = cos 2θ को हल करके θ का व्यापक मान ज्ञात कीजिए। (ग) यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} और C = {3, 4, 5, 6} तो A - (B - C) तथा (A - B) - C ज्ञात कीजिए। (घ) श्रेणी 4, 9, 14, 19, .... का कौन-सा पद 104 है ? (ङ) बिन्दुओं (2i - 3j - k) तथा (i - j + 3k) को मिलाने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
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निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए- (क) (5x - 11)/(2x^2 + x - 6) को आंशिक भिन्नों में वियोजित कीजिए। (ख) यदि किसी अधिवर्ष को यदृच्छया चुन लिया जाय तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (ग) त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि r1/[(s - b)(s - c)] + r2/[(s - c)(s - a)] + r3/[(s - a)(s - b)] = 3/r (घ) सिद्ध कीजिए कि तीन सदिश (5i - 2j - 7k), (4i + 3j + 2k) तथा (9i + j - 5k) एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ निर्धारित करते हैं। (ङ) सिद्ध कीजिए कि nCr + nCr-1 = n+1Cr
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निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए- (क) यदि a = 3i - 2j + k, b = 2i + 3j तथा c = i + j + k है तो {(a x b) . c} का मान ज्ञात कीजिए। (ख) समीकरण x^3 - 3x^2 + 4 = 0 को हल कीजिए जबकि दो मूल बराबर हैं। (ग) ज्ञात कीजिए कि (2x^4 - 1/(3x^7))^11 के विस्तार में कौन-सा पद x से स्वतन्त्र है? (घ) प्रतिचित्रण f : R -> R इस प्रकार है कि f(x) = 2x + 1, ∀ x ∈ R तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिचित्रण एकैकी है। (ङ) यदि sin^-1 x + sin^-1 y = π/2 तो सिद्ध कीजिए कि sin^-1 x = cos^-1 y
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निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए- (क) श्रेणी 0.9 + 0.99 + 0.999 + ... का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए। (ख) यदि x = cos θ + i sin θ और √(1 - c^2) = nc - 1 तो सिद्ध कीजिए कि 1 + c cos θ = (c / 2n)(1 + nx)(1 + n/x) (ग) यदि a, b, c तीन असमतलीय सदिश हैं तो सिद्ध कीजिए कि [a x b, b x c, c x a] = [a b c]^2 (घ) सिद्ध कीजिए कि 1 + 2^3/2! + 3^3/3! + 4^3/4! + ... ∞ = 5e
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निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए: (क) सिद्ध कीजिए कि determinant: | a - b - c, 2a, 2a | | 2b, b - c - a, 2b | = (a + b + c)^3 | 2c, 2c, c - a - b | (ख) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2i + 2j + 2k) से होकर जाता है तथा दो सदिशों (-3i + 4j - 7k) एवं (2i + 9k) के समान्तर है। (ग) सिद्ध कीजिए कि 5/(1.2.3) + 7/(3.4.5) + 9/(5.6.7) + ... = 3 log_e 2 - 1 (घ) सिद्ध कीजिए कि दो सम्मिश्र संख्याओं के योग का मापांक उनके अलग-अलग मापांकों के योग से सदैव कम अथवा उसके बराबर होता है। अर्थात् |Z1 + Z2| <= |Z1| + |Z2|
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निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए : (क) समतलों r . (i + 2j + 3k) = 0 तथा r . (3i + 2j + k) = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण r = a + tb के रूप में ज्ञात कीजिए। (ख) A तथा B एक पाँसे को रु० 1,100 के इनाम पर फेंकते हैं जो उस खिलाड़ी द्वारा जीता जाता है जो पहले 6 फेंकता है। यदि A ने पहले पाँसा फेंका, तो उनकी क्रमशः क्या प्रत्याशाएँ हैं ?
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निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए- (क) आव्यूह A = [ [1, 3, 3], [1, 4, 3], [1, 3, 4] ] का सहखण्डज आव्यूह Adj A तथा व्युत्क्रम आव्यूह A^-1 ज्ञात कीजिए। (ख) यदि N धन पूर्णांकों का समुच्चय है और कोई सम्बन्ध R, N x N पर इस प्रकार परिभाषित है कि (a, b) R (c, d) <=> a + d = b + c जहाँ (a, b), (c, d) ∈ N x N तो सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है।
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निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए- (क) एक मीनार BC पर एक झण्डा AB लगा है। झण्डा AB दो बिन्दुओं P तथा Q पर जो मीनार BC के एक ही ओर हैं तथा क्रमशः मीनार BC से a तथा b दूरियों पर हैं, समान कोण α अन्तरित करता है। सिद्ध कीजिए कि झण्डा AB की ऊँचाई (a + b) tan α है। (ख) (i) सिद्ध कीजिए कि A U B = (A - B) U B (ii) हल कीजिए: -√3 cos θ + sin θ = √2
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