व्यावहारिक गणित / APPLIED MATHEMATICS

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खण्ड क / SECTION A

1. (22)^12 का आखिरी (इकाई का) अंक है : The last (unit) digit of (22)^12 is: (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

2. 3^15 को 7 से भाग करने पर न्यूनतम ऋणेत्तर शेषफल है : The least non-negative remainder, when 3^15 is divided by 7 is: (a) 1 (b) 5 (c) 6 (d) 7

3. यदि A = [1 0; -2 1] तथा B = [-5 10; -10 -5] है, तो AB है : If A = [1 0; -2 1] and B = [-5 10; -10 -5], then AB is: (a) [-5 10; 0 -5] (b) [0 -5; 25 10] (c) [10 -25; -5 0] (d) [-5 10; 0 -25]

4. यदि [x+y x+2; 2x-y 16] = [8 5; 1 3y+1] है, तो x तथा y के मान हैं : If [x+y x+2; 2x-y 16] = [8 5; 1 3y+1] then the values of x and y are : (a) x = 3, y = 5 (b) x = 5, y = 3 (c) x = 2, y = 7 (d) x = 7, y = 2

5. वह अनुपात जिसमें एक दुकानदार दो प्रकार की दालों, जिनके मूल्य क्रमशः ₹ 85 प्रति किग्रा तथा ₹ 100 प्रति किग्रा हैं, को मिलाकर ₹ 92 प्रति किग्रा का मिश्रण प्राप्त करता है, है : The ratio in which a grocer mixes two varieties of pulses costing ₹ 85 per kg and ₹ 100 per kg respectively so as to get a mixture worth ₹ 92 per kg, is : (a) 7:8 (b) 8:7 (c) 5:7 (d) 7:5

6. यदि सभी x ∈ R के लिए, |x+1| / (x+1) > 0 है, तो : If |x+1| / (x+1) > 0, x ∈ R, then: (a) x ∈ [-1, ∞) (b) x ∈ (-1, ∞) (c) x ∈ (-∞, -1) (d) x ∈ (-∞, -1]

7. A तथा B दोनों कोटि 3 के ऐसे वर्ग आव्यूह हैं जिनके लिए |A| = -1 तथा |B| = 3 है । |3AB| का मान क्या है ? A and B are square matrices each of order 3 such that |A| = -1 and |B| = 3. What is the value of |3AB|? (a) -9 (b) 18 (c) -27 (d) -81

8. यदि |2 3 2; x x x; 4 9 1| + 3 = 0 है, तो x का मान है : If |2 3 2; x x x; 4 9 1| + 3 = 0, then the value of x is: (a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) 3

9. किसी उत्पाद की 'x' इकाइयों के उत्पादन के लिए 'सीमांत लागत' (MC) तथा 'माध्य लागत' (AC) में संबंध है : The relation between 'Marginal cost' and 'Average cost' of producing 'x' units of a product is : (a) d(AC)/dx = x(MC - AC) (b) d(AC)/dx = x(AC - MC) (c) d(AC)/dx = (1/x)(AC - MC) (d) d(AC)/dx = (1/x)(MC - AC)

10. ∫(x - 1)e^(-x) dx बराबर है : ∫(x - 1)e^(-x) dx is equal to : (a) (x - 2)e^(-x) + C (b) xe^(-x) + C (c) -xe^(-x) + C (d) (x + 1)e^(-x) + C

11. अवकल समीकरण (dx/x) + (dy/y) = 0 का हल है : The solution of the differential equation (dx/x) + (dy/y) = 0 is: (a) (1/x) + (1/y) = C (b) xy = C (c) log x log y = C (d) x + y = C

12. यदि X एक ऐसा प्वासों चर है कि P(X = 1) = 2P(X = 2), तो P(X = 0) है : If X is a Poisson variable such that P(X = 1) = 2P(X = 2), then P(X = 0) is: (a) e (b) 1/e (c) 1 (d) e^2

13. यदि |t| का परिकलित मान < tv(α) है, तब निराकरणीय परिकल्पना : If the calculated value of |t| < tv(α) then the null hypothesis is : (a) अस्वीकार की जाती है / rejected (b) स्वीकार की जाती है / accepted (c) निर्धारित नहीं की जा सकती / cannot be determined (d) न स्वीकार की जाती है और न ही अस्वीकार / neither accepted nor rejected

14. दो स्वतंत्र नमूनों के माध्यों के बीच के अंतर की सार्थकता की जाँच करने के लिए स्वातंत्र्य कोटि (v) ली जाती है : For testing the significance of difference between the means of two independent samples, the degree of freedom (v) is taken as: (a) n1 - n2 + 2 (b) n1 - n2 - 2 (c) n1 + n2 - 2 (d) n1 + n2 - 1

15. रैखिक प्रवृत्ति जिस समीकरण से निरूपित की जाती है, वह है : The straight line trend is represented by the equation: (a) yc = a + bx (b) yc = a - bx (c) yc = na + b∑x (d) yc = na - b∑x

16. ₹ R की स्थायी वार्षिकी, जो कि प्रत्येक भुगतान अवधि के अंत में अदा करनी होती है, का वर्तमान मूल्य, जबकि पैसा प्रति अवधि, i के लायक है, है : The present value of a perpetuity of ₹ R payable at the end of each payment period, when the money is worth i per period, is given by: (a) Ri (b) R + R/i (c) R/i (d) R - Ri

17. वह प्रभावी दर जो 10% वार्षिक, प्रति तिमाही संकलित होने वाली अंकित दर के तुल्य है, है : The effective rate which is equivalent to nominal rate of 10% p.a. compounded quarterly is: (a) 10.25% (b) 10.38% (c) 10.47% (d) 10.53%

18. x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित क्षेत्र स्थित है : Region represented by x ≥ 0, y ≥ 0 lies in: (a) I चतुर्थांश में / I quadrant (b) II चतुर्थांश में / II quadrant (c) III चतुर्थांश में / III quadrant (d) IV चतुर्थांश में / IV quadrant

प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन एवं तर्क आधारित प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न का 1 अंक है । दो कथन दिए गए हैं जिनमें एक को अभिकथन (A) तथा दूसरे को तर्क (R) द्वारा अंकित किया गया है। इन प्रश्नों के सही उत्तर नीचे दिए गए कोडों (a), (b), (c) और (d) में से चुनकर दीजिए । Questions number 19 and 20 are Assertion and Reason based questions carrying 1 mark each. Two statements are given, one labelled Assertion (A) and the other labelled Reason (R). Select the correct answer from the codes (a), (b), (c) and (d) as given below. (a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है । / Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is the correct explanation of the Assertion (A). (b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है । / Both Assertion (A) and Reason (R) are true, but Reason (R) is not the correct explanation of the Assertion (A). (c) अभिकथन (A) सही है तथा तर्क (R) ग़लत है । / Assertion (A) is true and Reason (R) is false. (d) अभिकथन (A) ग़लत है तथा तर्क (R) सही है । / Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

1. अभिकथन (A) : फलन f(x) = (x + 2)e^(-x), अंतराल (-1, ∞) में वर्धमान है । तर्क (R) : एक फलन f(x) वर्धमान है, यदि f'(x) > 0 है। Assertion (A): The function f(x) = (x + 2)e^(-x) is increasing in the interval (-1, ∞). Reason (R): A function f(x) is increasing, if f'(x) > 0.

2. अभिकथन (A) : परवलय y^2 = 4ax के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण x(dy/dx) - 2y = 0 है, जबकि 'a' एक प्राचल है । तर्क (R) : यदि दिए गए वक्रों के कुल में 'n' प्राचल हों, तो इसे n बार अवकलित किया जाता है ताकि प्राचल को लुप्त कर nth कोटि का अवकल समीकरण प्राप्त किया जा सके । Assertion (A): The differential equation representing the family of parabolas y^2 = 4ax, where 'a' is a parameter, is x(dy/dx) - 2y = 0. Reason (R): If the given family of curves has n parameters, then it is to be differentiated n times to eliminate the parameter and obtain the nth order differential equation.

खण्ड ख / SECTION B : 

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1. (क) दो पाइप A तथा B एक टैंक को क्रमशः 24 मिनट तथा 32 मिनट में भर सकती हैं । यदि दोनों पाइपों को एक साथ खोल दिया जाए तो पाइप B को कितने समय के बाद बन्द कर देना चाहिए ताकि टैंक 18 मिनट में भर जाए ? (a) Two pipes A and B can fill a tank in 24 minutes and 32 minutes respectively. If both the pipes are opened simultaneously, after how much time should B be closed so that the tank is full in 18 minutes? अथवा / OR (ख) एक-किलोमीटर की एक दौड़ में, A 30 सेकंड से B को हराता है तथा B 15 सेकंड से C को हराता है। यदि A, C को 180 मी. से हराता है, तो A द्वारा एक किलोमीटर दौड़ने में लिया गया समय ज्ञात कीजिए । (b) In a one-kilometre race, A beats B by 30 seconds and B beats C by 15 seconds. If A beats C by 180 metres, then find the time taken by A to run 1 kilometre.

2. x के लिए हल कीजिए : (x + 3) / (x - 2) ≤ 2 Solve for x : (x + 3) / (x - 2) ≤ 2

3. (क) निम्न रैखिक समीकरण निकाय को क्रैमर नियम से हल कीजिए : 2x - y = 17, 3x + 5y = 6 (a) Solve the following system of equations by Cramer's rule: 2x - y = 17, 3x + 5y = 6 अथवा / OR (ख) x के वह पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए आव्यूह A = [x+1 -3 4; -5 x+2 2; 4 1 x-6] अव्युत्क्रमणीय है । (b) Determine the integral value(s) of x for which the matrix A is singular : A = [x+1 -3 4; -5 x+2 2; 4 1 x-6]

4. एक कण वक्र 6y = x^3 + 2 की दिशा में चल रहा है। वक्र पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिन पर y-निर्देशांक के परिवर्तन की दर, x-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की 8 गुनी है। A particle moves along the curve 6y = x^3 + 2. Find the points on the curve at which the ordinate is changing 8 times as fast as abscissa.

5. माना कि एक फैक्टरी द्वारा उत्पादित वस्तुओं में से 2% खराब हैं । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया लिए गए 100 वस्तुओं के एक नमूने में 3 खराब वस्तुएँ हैं । (दिया है e^(-2) = 0.135) Suppose 2% of the items made by a factory are defective. Find the probability that there are 3 defective items in a sample of 100 items selected at random. (Given e^(-2) = 0.135)

खण्ड ग / SECTION C

1. (क) डिट्टोल से भरी हुई एक बोतल ली गई तथा इसमें से एक-तिहाई डिट्टोल निकाल कर उतना ही पानी डाल कर बोतल को फिर से भर दिया। ऐसा तीन बार किया गया । अन्त में बोतल में डिट्टोल की मात्रा से पानी की मात्रा का अनुपात ज्ञात कीजिए । (a) A bottle is full of dettol. One-third of its dettol is taken away and an equal amount of water is poured into the bottle to fill it again. This operation is repeated three times. Find the final ratio of dettol to water in the bottle. अथवा / OR (ख) एक पाइप A एक टैंक को 3 घंटे में भर सकती है। इस टैंक के साथ दो निकासी पाइप B तथा C लगे हैं जो कि टैंक को क्रमशः 7 घंटे तथा 10 घंटे में खाली कर सकते हैं । यदि तीनों पाइप एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टैंक को भरने में कितना समय लगेगा ? (b) A pipe A can fill a tank in 3 hours. There are two outlet pipes B and C from the tank which can empty it in 7 and 10 hours respectively. If all the three pipes are opened simultaneously, how long will it take to fill the tank?

    

2. फलन f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 8 के सभी स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए । Find all the points of local maxima and local minima for the function f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 8.

3. एक अनभिनत पासे को बार-बार तब तक उछाला गया जब तक कि इस पर तीसरी बार छः नहीं आ जाता । इस पासे को छठी बार उछालने पर तीसरी बार छः आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए । An unbiased die is thrown again and again until three sixes are obtained. Find the probability of obtaining a third six in the sixth throw of the die.

4. एक चार-पहिया वाहन की साप्ताहिक माध्य बिक्री, 20 एजेंसियों में 50 इकाई प्रति एजेंसी थी । विज्ञापन द्वारा प्रचार करने पर, साप्ताहिक माध्य बिक्री प्रति एजेंसी बढ़कर 55 इकाई हो गई जबकि मानक विचलन 10 इकाई था। जाँच कीजिए कि क्या यह विज्ञापन प्रचार सफल था । (प्रयोग कीजिए t_0.005 = 1.729, 19 d.f. के लिए) The mean weekly sales of a four-wheeler were 50 units per agency in 20 agencies. After an advertising campaign, the mean weekly sales increased to 55 units per agency with standard deviation of 10 units. Test whether the advertising campaign was successful. (Use t_0.005 = 1.729 for 19 d.f.)

    

5. (क) एक संपत्ति का मूल्य ₹ 4,50,000 है जबकि इसकी अनुमानित आयु 5 वर्ष है तथा इसका अवशिष्ट मूल्य ₹ 1,00,000 है। रैखिक अवमूल्यन विधि द्वारा इस संपत्ति का वार्षिक अवमूल्यन ज्ञात कीजिए तथा एक वार्षिक अवमूल्यन अनुसूची बनाइए । (a) An asset costs ₹ 4,50,000 with an estimated useful life of 5 years and a scrap value of ₹ 1,00,000. Using linear depreciation method, find the annual depreciation of the asset and construct a yearly depreciation schedule. अथवा / OR (ख) अमृता ने ₹ 12,50,000 मूल्य की एक कार खरीदी, जिसके लिए उसने ₹ 3,00,000 तत्काल अदायगी की तथा शेष राशि को 4 वर्षों में समान मासिक किश्तों में 15% वार्षिक ब्याज की दर पर वापिस करना है। ज्ञात कीजिए कि अमृता को कितनी ई.एम.आई. (EMI) देनी होगी। {दिया है (1.0125)^(-48) = 0.5508565} (b) Amrita bought a car worth ₹ 12,50,000 and makes a down payment of ₹ 3,00,000. The balance amount is to be paid in 4 years by equal monthly instalments at an interest rate of 15% p.a. Find the EMI that Amrita has to pay for the car. {Given (1.0125)^(-48) = 0.5508565}

    

6. व्यवरोधों x + y ≤ 24, 2x + y ≤ 32, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत, z = 300x + 190y का अधिकतमीकरण कीजिए । Maximise z = 300x + 190y subject to constraints: x + y ≤ 24, 2x + y ≤ 32, x ≥ 0, y ≥ 0.

खण्ड घ / SECTION D : 

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1. (क) आव्यूह A = [-1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4] का व्युत्क्रम (A^(-1)) ज्ञात कीजिए, अतः दर्शाइए कि AA^(-1) = I. (a) Find the inverse of the matrix: A = [-1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4] and hence show that AA^(-1) = I. अथवा / OR (ख) आव्यूह विधि के प्रयोग से निम्न रैखिक समीकरण निकाय का x, y, z के लिए हल ज्ञात कीजिए : x - y + z = 4 2x + y - 3z = 0 x + y + z = 2 (b) Using matrix method, solve the following system of equations for x, y and z: x - y + z = 4 2x + y - 3z = 0 x + y + z = 2

2. (क) संख्या 15 को ऐसे दो भागों में बाँटें कि पहले भाग के वर्ग तथा दूसरे भाग के घन का गुणनफल अधिकतम हो । (a) Divide a number 15 into two parts such that the square of one part multiplied with the cube of the other part is maximum. अथवा / OR (ख) वक्र y^2 = 2x पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो कि बिंदु (1, 4) से निकटतम हो । (b) Find a point on the curve y^2 = 2x which is nearest to the point (1, 4).

3. निम्न आँकड़ों के लिए न्यूनतम वर्गों की विधि से एक सरल रेखीय उपनति फिट कीजिए तथा उपनति मान ज्ञात कीजिए : Fit a straight line trend by method of least squares to the following data and find the trend values :

वर्ष / Year : 2010 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2019 बिक्री (लाख ₹ में) / Sales (in lakh ₹) : 65 | 68 | 70 | 72 | 75 | 67 | 73

1. चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR) को परिभाषित कीजिए तथा इसे ज्ञात करने का सूत्र दीजिए । इस सूत्र के प्रयोग से विकास के निवेश का CAGR ज्ञात कीजिए जबकि दिया है कि : विकास ने एक कम्पनी के स्टॉक में 6 वर्ष के लिए ₹ 10,00,00 का निवेश किया । प्रत्येक वर्ष के अंत में उसके निवेश का मान निम्न है : Define Compound Annual Growth Rate (CAGR) and give the formula for calculating CAGR. Using the formula, calculate CAGR of Vikas's investment given below : Vikas invested ₹ 10,000 in a stock of a company for 6 years. The value of his investment at the end of each year is given below :

वर्ष 1 / Year 1 : ₹ 11,000 वर्ष 2 / Year 2 : ₹ 11,500 वर्ष 3 / Year 3 : ₹ 11,650 वर्ष 4 / Year 4 : ₹ 11,800 वर्ष 5 / Year 5 : ₹ 12,200 वर्ष 6 / Year 6 : ₹ 14,000

[(1.4)^(1/6) = 1.058 का प्रयोग कीजिए / Use (1.4)^(1/6) = 1.058]

खण्ड ङ / SECTION E

प्रकरण अध्ययन - 1 / Case Study - 1 36. एक फैक्ट्री बल्ब बनाती है। बल्बों की एक बहुत बड़ी ढेरी में 6% बल्ब खराब होते हैं । उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर, निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : A factory produces bulbs, of which 6% are defective bulbs in a large bulk of bulbs. Based on the above information, answer the following questions: (i) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुने गए 100 बल्बों के एक नमूने में कोई भी खराब बल्ब नहीं है । [e^(-6) = 0.0024 लीजिए] Find the probability that in a sample of 100 bulbs selected at random, none of the bulbs is defective. (Use: e^(-6) = 0.0024) (ii) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 बल्बों के नमूने में मात्र 2 खराब बल्ब हैं । Find the probability that the sample of 100 bulbs has exactly two defective bulbs. (iii) (क) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 बल्बों के नमूने में एक से अधिक खराब बल्ब नहीं है । (a) Find the probability that the sample of 100 bulbs will include not more than one defective bulb. अथवा / OR (iii) (ख) 100 बल्बों के नमूने में खराब बल्ब की प्रायिकता बंटन का माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए । (b) Find the mean and the variance of the distribution of number of defective bulbs in a sample of 100 bulbs.

प्रकरण अध्ययन - 2 / Case Study - 2 37. एक फैक्ट्री में टैनिस के रैकिट तथा क्रिकेट के बैट बनते हैं। एक टैनिस रैकिट बनाने में 1(1/2) घंटे मशीन का समय तथा 3 घंटे का समय शिल्पकारिता में लगता है, जबकि एक क्रिकेट बैट बनाने में 3 घंटे मशीन का समय तथा 1 घंटे का समय शिल्पकारिता में लगता है । एक दिन में फैक्ट्री के पास मशीन का समय 42 घंटे से अधिक नहीं है जबकि शिल्पकारिता का समय 24 घंटे से अधिक नहीं है। एक रैकिट तथा एक बैट पर लाभ क्रमशः ₹ 20 तथा ₹ 10 है। उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर, निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : A factory manufactures tennis rackets and cricket bats. A tennis racket takes 1(1/2) hours of machine time and 3 hours of craftsmanship in its making; while a cricket bat takes 3 hours of machine time and 1 hour of craftsmanship. In a day, the factory has availability of not more than 42 hours of machine time and 24 hours of craftsmanship. Profit on a racket and on a bat are ₹ 20 and ₹ 10 respectively. Based on the above information, answer the following questions: (i) यदि फैक्ट्री द्वारा बनाए गए बैट तथा रैकिटों की संख्या क्रमशः x तथा y है, तो कुल लाभ का व्यंजक लिखिए । If x and y are the numbers of bats and rackets manufactured by the factory, then write the expression of total profit. (ii) शिल्पकारिता पर लगे घंटों की संख्या से संबंधित व्यवरोध लिखिए । Write the constraint that relates the number of craftsmanship hours. (iii) (क) फैक्ट्री द्वारा (₹ में) अर्जित अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए । (a) Determine the maximum profit (in ₹) earned by the factory. अथवा / OR (iii) (ख) अधिकतम लाभ के लिए कितने बैट तथा रैकिट, क्रमशः बनाए जाने चाहिए ? (b) How many bats and rackets respectively, are to be manufactured to earn maximum profit?

प्रकरण अध्ययन - 3 / Case Study - 3 38. वर्ष 2010 में, श्री अग्रवाल ने स्टेट बैंक ऑफ इंडिया से 20 वर्ष के लिए, ₹ 30,00,000 का गृह ऋण 7.5% वार्षिक दर पर लिया गया जबकि ब्याज मासिक संयोजित होता है । उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर, निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : In the year 2010, Mr. Aggarwal took a home loan of ₹ 30,00,000 from State Bank of India at 7.5% p.a. compounded monthly for 20 years. Based on the above information, answer the following questions : (i) ई.एम.आई. (EMI) ज्ञात कीजिए । Determine the EMI. (ii) श्री अग्रवाल द्वारा 150वीं किश्त में अदा की गई मूलधन की राशि ज्ञात कीजिए । Find the principal paid by Mr. Aggarwal in the 150th instalment. (iii) (क) श्री अग्रवाल द्वारा दी गई कुल ब्याज की राशि ज्ञात कीजिए । (a) Find the total interest paid by Mr. Aggarwal. अथवा / OR (iii) (ख) श्री अग्रवाल द्वारा पूरे गृह ऋण की अदायगी में कुल कितनी राशि दी गई ? (b) How much was paid by Mr. Aggarwal to repay the entire amount of home loan? [(1.00625)^240 = 4.4608; (1.00625)^91 = 1.7629 लीजिए / Use (1.00625)^240 = 4.4608; (1.00625)^91 = 1.7629]

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