इण्टरमीडिएट परीक्षा, 2014
गणित द्वितीय प्रश्न-पत्र
समय: 3 घण्टे 15 मिनट 335 (GF) पूर्णांक : 50

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए-
(क) (1/tan x - 1/cot x) का sin x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए। 1
(ख) सरल रेखा (sqrt(3))x - y + 5 = 0 का x-अक्ष से बने कोण को ज्ञात कीजिए। 1
(ग) सदिशों 2i - j + k तथा i + 4j + 2k के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 1
(घ) यदि f(x) = x^2 + 1, तो f(f(x)) का मान ज्ञात कीजिए। 1
(ङ) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से जाता है तथा x-अक्ष पर 4 इकाई का अन्तःखण्ड एवं y-अक्ष पर 2 इकाई का अन्तःखण्ड काटता है। 1

(क) एक फलन निम्न प्रकार परिभाषित है:
f(x) = (2 sin x)/x, यदि x != 0
f(x) = -1, यदि x = 0
क्या फलन x = 0 पर सतत है? 2
(ख) वक्र y = 2x^2 - 4x + 1 पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ खींची गई स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है। 2
(ग) int (sin sqrt(x))/sqrt(x) dx का मान ज्ञात कीजिए। 2
(घ) यदि मूलबिन्दु से उस रेखा पर जो अक्षों से अन्तःखण्ड a1 तथा b1 काटती है, डाले गए लम्ब की लम्बाई p1 है तो सिद्ध कीजिए कि p1 = (a1 b1)/sqrt(a1^2 + b1^2) 2
(ङ) दिखाइए कि समीकरण 1/(x + y - a) + 1/(x - y + a) + 1/(y - x + a) = 0 एक परवलय को निरूपित करता है। 2

(क) tan^-1 x का अवकल गुणांक sin^-1 x के सापेक्ष x = 1/2 पर ज्ञात कीजिए। 2
(ख) अवकल समीकरण dy/dx = tan x / (y + sin y) को हल कीजिए। 2
(ग) समतलों r . (i + 2j + k) + 7 = 0 तथा r . (2i + j - k) + 5 = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 2
(घ) वक्र 10x^2 + 7y^2 = 70 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए तथा नाभिलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए। 2
(ङ) उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ 3i + 2j - k तथा i + 2j + 3k हैं। 2

(क) int_0^pi (x sin x)/(1 + cos^2 x) dx का मान ज्ञात कीजिए। 3
(ख) दर्शाइए कि बिन्दुएँ (a, b, c), (b, c, a) तथा (c, a, b) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। 3
(ग) सिद्ध कीजिए कि वृत्त 2x^2 + 2y^2 + 4x + 4y + 2 = 0 तथा x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 एक दूसरे को स्पर्श करते हैं। 3
(घ) सिद्ध कीजिए कि समीकरण 9x^2 - 16y^2 - 36x + 96y - 252 = 0 एक अतिपरवलय को प्रदर्शित करता है। इसका केन्द्र तथा उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए। 3

(क) सिद्ध कीजिए कि (1/x)^x का उच्चिष्ठ मान e^(1/e) है। 3
(ख) आलेखीय विधि द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत कीजिए-
x + y <= 24
2x + y <= 32
x, y >= 0
Z = 150x + 250y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। 3
(ग) अवकल समीकरण (1 + x^2)dy + 2xy dx = cot x dx को हल कीजिए। 3
(घ) सिद्ध कीजिए कि int_0^pi x sin^2 x dx = pi^2 / 4. 3

(क) यदि वक्र sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(a) के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा OX और OY अक्षों को क्रमशः P और Q पर काटे तो सिद्ध कीजिए कि OP + OQ = a जहाँ O मूलबिन्दु है। 4
(ख) सरल रेखा x = a/2 द्वारा विभाजित वृत्त x^2 + y^2 = a^2 के दो भागों में से छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 4

(क) यदि समकोणीय अतिपरवलय xy = c^2 के बिन्दु t1 पर खींचा गया अभिलम्ब अतिपरवलय से पुनः बिन्दु t2 पर मिलता है, तो सिद्ध कीजिए t1^3 t2 = -1 4
(ख) यदि सरल रेखा x cos theta + y sin theta = 4, x-अक्ष को बिन्दु A तथा y-अक्ष को बिन्दु B पर काटती है तो त्रिभुज OAB के केन्द्रक का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जहाँ O मूलबिन्दु है। 4

(क) बिन्दु (3, -1, 1) तथा समतलों r . (2i - 3j + k) = 5 तथा r . (i + 5j - 2k) = 1 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 4
(ख) माध्य मान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = 1/(4x - 1), जहाँ a = 1 तथा b = 4 हैं। 4

UP Board 2014 All question Paper

Mathematics I

Samnaya Hindi

CBSE class 12