UP Board Mathematics II Class 12-Previous year Question Paper

Free PDF Download -गणित - द्वितीय प्रश्न-पत्र UP Board Class 12 -2015

इण्टरमीडिएट परीक्षा, 2015
गणित - द्वितीय प्रश्न-पत्र
समय : 3 घण्टे 15 मिनट] [पूर्णांक : 50
335 (HS)

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए-
(क) यदि y = x^(sin⁻¹x) तो dy/dx का मान ज्ञात कीजिए। 1
(ख) समान्तर रेखाओं y = mx + c₁ तथा y = mx + c₂ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 1
(ग) यदि बिन्दुओं (1, a, 4) और (-3, -5, 4) के बीच की दूरी 5 मात्रक है तो a का मान ज्ञात कीजिए। 1
(घ) lim (x->∞) cos log((x - 1)/x) का मान ज्ञात कीजिए। 1
(ङ) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका व्यास वृत्त x² + y² = 10x की जीवा y = 2x + 1 है। 1

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए-
(क) फलन f(x) = { 1/(1 - e^(1/x)), x ≠ 0 ; 0, x = 0 } का बिन्दु x = 0 पर सांतत्य की जाँच कीजिए। 2
(ख) सिद्ध कीजिए कि वक्र x² + y² = 1 और y² = 4(x - 1) एक दूसरे को स्पर्श करते हैं। 2
(ग) ∫ √(1 + sin(x/2)) dx का मान ज्ञात कीजिए। 2
(घ) रेखा के समीकरण x - y√3 + 6 = 0 को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए। 2
(ङ) दीर्घवृत्त 9x² + 5y² - 30y = 0 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए। 2

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए-
(क) यदि x = tan⁻¹t तथा y = t sin 2t तो dy/dx का मान ज्ञात कीजिए। 2
(ख) अवकल समीकरण dy/dx = (x(2 log x + 1)) / (sin y + y cos y) को हल कीजिए। 2
(ग) दो समतलों x + y + 3z = 6 तथा 3x + y + z = 5 के मध्य का कोण सदिश विधि से ज्ञात कीजिए। 2
(घ) अतिपरवलय 4x² - 16y² = 9 की उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए। 2
(ङ) सदिशों a = i + j + k और b = 2i + 3j - k पर लम्ब सदिश ज्ञात कीजिए। 2

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए-
(क) ∫[0 to 1] x √((1 - x²)/(1 + x²)) dx का मान ज्ञात कीजिए। 3
(ख) यदि बिन्दुओं A, B तथा C के निर्देशांक क्रमशः (6, 3), (-3, 5) और (4, -2) हैं तथा P(a, b) एक अन्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजों PBC और ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात (a + b - 2) : 7 है। 3
(ग) वृत्त x² + y² = a² पर स्थित बिन्दुओं θ₁ तथा θ₂ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 3
(घ) दीर्घवृत्त 4x² + 9y² - 8x - 36y + 4 = 0 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए। 3

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए-
(क) यदि x + y = 1, तो फलन xy² का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए। 3
(ख) आलेखीय विधि द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को निम्न अवरोधों के अन्तर्गत हल ज्ञात कीजिए-
x + 3y ≤ 60, x + y ≥ 10, x ≤ y, x ≥ 0, y ≥ 0 तथा Z = 3x + 9y का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। 3
(ग) अवकल समीकरण dy/dx = (y/x){log(y/x) + 1} का हल ज्ञात कीजिए। 3
(घ) ∫ dx / (x(x^(3/2) + 1)) को हल कीजिए। 3

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) x² cos x का प्रथम सिद्धान्त से x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए। 4
(ख) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके दो व्यासों के समीकरण 2x + y + 4 = 0 और x - y - 1 = 0 हैं और वृत्त बिन्दु (1, 1) से गुजरता है। 4

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) यदि अतिपरवलयों x²/a² - y²/b² = 1 तथा x²/a² - y²/b² = -1 की उत्केन्द्रताएँ क्रमशः e₁ और e₂ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 1/e₁² + 1/e₂² = 1. 4
(ख) यदि मूलबिन्दु (0, 0) को बिन्दु (1, -2) पर स्थानान्तरित कर दिया जाए तथा अक्षों को tan⁻¹(-1/2) के कोण पर घुमा दिया जाए तो समीकरण 14x² - 4xy + 11y² - 36x + 48y + 41 = 0 का परिवर्तित रूप ज्ञात कीजिए। 4

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) वक्र y = log x, X-अक्ष, x = 1/2 तथा x = 3/2 से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 4
(ख) बिन्दु [1, 5] पर फलन f(x) = x² - 2x + 4 के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए। 4

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