MATHEMATICS QUESTION PAPER CBSE CLASS 12
खण्ड - क / SECTION - A (1 अंक वाले प्रश्न)
1. 41 mod 9 बराबर है:
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 0
2. यदि a > b तथा c < 0 है, तो निम्न में से कौनसा सही है?
(A) a + c < b + c
(B) a - c < b - c
(C) ac > bc
(D) a - c > b + c
3. यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो (AB' - BA') एक:
(A) सममित आव्यूह है
(B) शून्य आव्यूह है
(C) विकर्ण आव्यूह है
(D) विषम-सममित आव्यूह है
4. आव्यूह A = [[4, -1], [2, 1]] का व्युत्क्रम है:
(A) (1/6) [[-4, 2], [-1, -1]]
(B) [[1/3, 1/6], [2/3, -1/6]]
(C) [[1/6, 1/6], [-1/3, 2/3]]
(D) [[-2/3, 1/6], [-1/3, -1/6]]
5. यदि |[2x, 5], [4, x]| = |[3, 5], [4, 6]| है, तो x का मान है:
(A) 3/2
(B) 6
(C) 3
(D) ±3
6. x = 6 पर वक्र y = (x - 3)/(x - 4) के अभिलंब की प्रवणता है:
(A) 4
(B) -1/4
(C) -4
(D) 1/4
7. समय (t) के सापेक्ष जनसंख्या P(t) में परिवर्तन की दर, जहाँ α तथा β क्रमशः स्थिर जन्म और मृत्यु दर हैं, है:
(A) dP/dt = (α + β)P
(B) dP/dt = (α - β)P
(C) dP/dt = (α + β)/P
(D) dP/dt = (α - β)/P
8. पासों के एक जोड़े को दो बार उछाला गया। यदि प्राप्त हुए द्विकों की संख्या X से दर्शाती है, तो X की प्रत्याशा है:
(A) 1/6
(B) 1
(C) 1/3
(D) 11/36
9. t-बंटन का माध्य है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) अपरिभाषित
10. जलवायु, त्योहारों अथवा मौसम में परिवर्तन के कारण होने वाले बदलावों को कहा जाता है:
(A) धर्म-निरपेक्ष बदलाव
(B) चक्रीय बदलाव
(C) मौसमी परिवर्तन
(D) अनियमित बदलाव
11. एक LPP में, अवरोधों x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 60, x, y ≥ 0 के अंतर्गत z = 3x + 4y का अधिकतम मान है:
(A) 120
(B) 140
(C) 150
(D) 130
12. प्रत्येक वर्ष के अंत में किए जाने वाले तथा हमेशा के लिए जारी रहने वाले ₹ 100 के भुगतानों के अनुक्रम का वर्तमान मूल्य, यदि धन का मूल्य 5% वार्षिक, चक्रवृद्धि ब्याज से संयोजित होता है, है:
(A) ₹ 2,000
(B) ₹ 20,000
(C) ₹ 5,000
(D) ₹ 12,000
13. एक एकाधिकारवादी का माँग फलन p = 30 + 5x - 3x² द्वारा प्रदत्त है, जहाँ x, माँग किए गए नगों की संख्या दर्शाता है तथा p एक नग का मूल्य है। 2 नगों की बिक्री पर सीमांत राजस्व है:
(A) ₹ 28
(B) ₹ 23
(C) ₹ 1
(D) ₹ 14
14. यदि x वस्तुओं का लागत फलन तथा राजस्व फलन क्रमशः C(x) = 100 + 0.015 x² तथा R(x) = 3x हैं, तो अधिकतम लाभ के लिए x का मान है:
(A) 50
(B) 100
(C) 150
(D) 200
15. यदि यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन है:
P(X = x) = k (यदि x = 0), 2k (यदि x = 1 या 2), 0 (अन्यथा)
तो k का मान है:
(A) 1/3
(B) 1/5
(C) 1/6
(D) 1/4
16. दो स्वतंत्र नमूनों के बीच अंतर के महत्त्व का परीक्षण करने के लिए, परीक्षण आँकड़ा t द्वारा दिया जाता है:
(A) t = (x̄ - ȳ) / √s
(B) t = (x̄ - ȳ) / [s * √(1/n₁ + 1/n₂)]
(C) t = (x̄ - ȳ) / [s / √(n - 1)]
(D) t = (x̄ - ȳ) / [s * √(1/n₁ - 1/n₂)]
17. अर्धवार्षिक रूप से संयोजित 4% की नाममात्र दर के समतुल्य प्रभावी ब्याज दर है:
(A) 4.12%
(B) 4.04%
(C) 4.08%
(D) 4.14%
18. एक निवेश, जिसका प्रारंभिक मूल्य ₹ 5,000 है और यह 4 वर्षों में ₹ 25,000 तक बढ़ जाता है, का CAGR है: [दिया है: (5)^0.25 = 1.4953]
(A) 49.53%
(B) 14.95%
(C) 495.3%
(D) 1.49%
निर्देश (प्रश्न संख्या 19 और 20):
(A) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(B) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(C) अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।
(D) अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।
अभिकथन (A): रेखा y - 1 = x, x-अक्ष तथा रेखाओं x = -1 और x = 1 के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 2 वर्ग इकाई है।
तर्क (R): वक्र y = f(x), x-अक्ष तथा रेखाओं x = a तथा x = b के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ∫[a to b] f(x) dx होता है।
अभिकथन (A): वक्र कुल y = mx, m एक स्वेच्छ स्थिरांक है, को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण x(dy/dx) - y = 0 है।
तर्क (R): किन्हीं वक्रों के कुल के लिए अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरण को x के सापेक्ष अवकलित करने के बाद स्वेच्छ स्थिरांक का विलोपन किया जाता है।
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खण्ड - ख / SECTION - B (2 अंक वाले प्रश्न)
21. (a) टाइप I चीनी का मूल्य ₹ 25 प्रति किलो तथा टाइप II चीनी का मूल्य ₹ 35 प्रति किलो है। यदि टाइप I चीनी तथा टाइप II चीनी को 3:2 में मिलाया जाए, तो मिश्रण का प्रति किलो मूल्य ज्ञात कीजिए।
अथवा
(b) पाइप A एक टैंक को 1 घंटे में भर सकता है जबकि पाइप B इसी टैंक को 1½ घंटों में भर सकता है। यदि खाली टैंक में दोनों पाइपों को एक साथ खोल दिया जाए, तो टैंक को भरने में कितना समय लगेगा?
22. एक नाव 3.5 km धारा की प्रतिकूल दिशा में जाकर वापिस उसी स्थान पर आती है तथा इसमें कुल 1 घंटा 12 मिनट का समय लगता है। यदि धारा की चाल 1 km/h है, तो शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।
23. खिलाड़ी A, खिलाड़ी B से 3/2 गुना तेज भाग सकता है। यदि खिलाड़ी A, खिलाड़ी B को 40 m की बढ़त देता है, तो शुरुआती बिंदु से विजयी पोस्ट कितना दूर होना चाहिए ताकि A और B एक ही समय पर वहाँ पहुँचे?
24. दिया है A = [[2, 0, 1], [3, 4, 5], [0, 2, 3]] तथा B = [[1, 1, -5], [-5, 1, -5], [1, -2, 4]], तो BA ज्ञात कीजिए।
25. (a) एक निष्पक्ष सिक्का 6 बार उछाला गया। कम से कम 4 बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अथवा
(b) दिया है कि एक नॉर्मल चर X का माध्य 9 है तथा मानक विचलन 3 है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आँकड़ों के बिंदु 15 का z-स्कोर
(ii) z-स्कोर 4 वाले आँकड़ों का बिंदु
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खण्ड - ग / SECTION - C (3 अंक वाले प्रश्न)
26. 7^295 का इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।
27. प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गईं। मान लें X प्राप्त दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
28. (a) यदि एक द्विपद बंटन का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 4/3 तथा 8/9 हैं, तो P(X = 1) ज्ञात कीजिए।
अथवा
(b) किसी बीमारी की मृत्यु दर 0.007 है। प्वासों बंटन के प्रयोग से, 400 लोगों के समूह में 2 मृत्यु होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [e^-2.8 = 0.0608 का प्रयोग कीजिए]
29. (a) दो प्रकार के उर्वरक F₁ तथा F₂ हैं। F₁ में 10% नाइट्रोजन और 6% फॉस्फोरिक अम्ल है तथा F₂ में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फॉस्फोरिक अम्ल है। मिट्टी का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए कम से कम 14 kg नाइट्रोजन तथा 14 kg फॉस्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि F₁ का मूल्य ₹ 6 प्रति किलो और F₂ का मूल्य ₹ 5 प्रति किलो है, तो प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग करना चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्त्व मिल सकें? इसके लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या का निर्माण कीजिए।
अथवा
(b) निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या का ग्राफ द्वारा हल ज्ञात कीजिए:
व्यवरोध:
2x + y ≤ 18
3x + 2y ≤ 34
x, y ≥ 0
के अंतर्गत z = 50x + 30y का अधिकतमीकरण करना।
30. एक मशीन बनाने वाला इंजन के पुर्जे बना रहा है जिसमें वह 0.7 cm व्यास का एक्सल बनाता है। 10 पुर्जों के एक यादृच्छय नमूने का माध्य व्यास 0.742 cm तथा मानक विचलन 0.04 cm पाया जाता है। इस नमूने के आधार पर ज्ञात कीजिए कि क्या यह कार्य घटिया प्रकार का है। [दिया है: t₉(0.05) = 2.262]
31. ₹ 5,00,000 के एक ऋण के लिए 7.5% वार्षिक ब्याज दर पर 5 वर्षों के लिए, फ्लैट रेट प्रणाली से EMI ज्ञात कीजिए।
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खण्ड - घ / SECTION - D (5 अंक वाले प्रश्न)
32. (a) यदि A = [[2, -3, 5], [3, 2, -4], [1, 1, -2]] है, तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए। अतः निम्न रैखिक समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए:
2x - 3y + 5z = 11
3x + 2y - 4z = -5
x + y - 2z = -3
अथवा
(b) सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि:
|[(b+c)², a², a²], [b², (c+a)², b²], [c², c², (a+b)²]| = 2abc(a + b + c)³
33. यदि आपूर्ति फलन p = 4 - 5x + x² है, तो उत्पादक-अधिशेष ज्ञात कीजिए जब कीमत 18 है।
34. (a) कागज के उत्पादन के दिए गए आँकड़ों (हजार टन में) से 4 वर्षीय चल औसत द्वारा मौसमी सूचकांकों / प्रवृत्ति मूल्यों की गणना कीजिए:
वर्ष: 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010
उत्पादन: 2450, 1470, 2150, 1800, 1210, 1950, 2300, 2500, 2480, 2680
अथवा
(b) निम्नलिखित आँकड़ों के लिए न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा एक सीधी रेखा प्रवृत्ति फिट कीजिए:
वर्ष: 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016
उत्पादन (टनों में): 210, 225, 275, 220, 240, 235
35. एक मशीन का मूल्य ₹ 1,00,000 है तथा इसका प्रभावी जीवन 12 वर्ष होने का अनुमान है। मशीन के जीवन काल के अंत में, जब इसके स्क्रैप की कीमत केवल ₹ 5,000 होती है, इसे नए मॉडल से बदलने के लिए एक सिंकिंग फंड बनाया जाता है। ज्ञात कीजिए कि प्रति वर्ष लाभ में से कितनी राशि अलग रखी जाए यदि सिंकिंग फंड 5% प्रभावी स्तर पर संचित होता है। [प्रयोग करें: (1.05)^12 = 1.7958]
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खण्ड - ङ / SECTION - E (4 अंक वाले प्रश्न)
36. प्रकरण अध्ययन 1:
एक व्यक्ति के पास 36 cm भुजा का एक वर्गाकार सोने का बोर्ड है। वह इससे चारों कोनों से एक-एक वर्ग काटकर तथा किनारों को मोड़कर एक ऊपर से खुले बक्से में बदलना चाहता है। माना किनारों से काटे गए प्रत्येक वर्ग की भुजा x cm है।
उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) x के पदों में खुले बक्से के आयतन (V) के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए।
(ii) dV/dx ज्ञात कीजिए।
(iii) x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए आयतन (V) अधिकतम हो।
अथवा
(iii) खुले बॉक्स का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।
37. प्रकरण अध्ययन 2:
दो कारखाने P और Q पर स्थित हैं। इन स्थानों से सामान A, B और C पर स्थित तीन डिपो में भेजे जाने हैं जिनकी साप्ताहिक आवश्यकता क्रमशः 4, 4, 6 नग की है, जबकि P और Q कारखानों की उत्पादन क्षमता क्रमशः 9 और 5 नग हैं।
प्रति नग परिवहन व्यय (₹ में):
कारखाना P से: A को ₹ 160, B को ₹ 100, C को ₹ 150
कारखाना Q से: A को ₹ 100, B को ₹ 120, C को ₹ 100
माना कि माल के x नग और y नग कारखाना P से क्रमशः डिपो A तथा B को भेजे गए।
उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) ज्ञात कीजिए कि P से C को (x तथा y के पदों में) कितने नग भेजे गए।
(ii) ज्ञात कीजिए कि Q से क्रमशः A, B तथा C को कितने नग भेजे गए।
(iii) भाग (i) तथा (ii) के प्रयोग से, कुल परिवहन लागत z ज्ञात कीजिए।
अथवा
(iii) न्यूनतम लागत z के लिए व्यवरोध असमिकाएँ ज्ञात कीजिए।
38. प्रकरण अध्ययन 3:
रमेश ने एक बैंक से गृह ऋण के रूप में ₹ 7,00,000, 12% वार्षिक ब्याज दर पर 30 वर्षों के लिए प्राप्त किए जिसे मासिक किश्तों में वापिस करना है।
उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) घटती शेष राशि विधि द्वारा, EMI की गणना करने का सूत्र लिखिए।
(ii) P, i तथा n के क्रमशः मान लिखिए।
(iii) EMI ज्ञात कीजिए। [प्रयोग करें: (1.01)^-360 = 0.02781668]
अथवा
(iii) यदि ऋण की राशि को 20 वर्षों में लौटाना हो, तो EMI ज्ञात कीजिए। [प्रयोग करें: (1.01)^-240 = 0.09180584]
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