MATHEMATICS QUESTION PAPER CLASS 12 CBSE BOARD 2023

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खण्ड क / SECTION A

(बहुविकल्पीय प्रश्न / 1 अंक प्रत्येक)

1. यदि किसी वर्ग आव्यूह A के लिए A² - 3A + I = O है तथा A⁻¹ = xA + yI है, तो x + y का मान है :

   If for a square matrix A, A² - 3A + I = O and A⁻¹ = xA + yI, then the value of x + y is:

   (a) -2

   (b) 2

   (c) 3

   (d) -3

2. यदि एक 2×2 आव्यूह A के लिए |A| = 2 है, तो |4A⁻¹| बराबर है :

   If |A| = 2, where A is a 2×2 matrix, then |4A⁻¹| equals:

   (a) 4

   (b) 2

   (c) 8

   (d) 1/32

3. माना A एक ऐसा 3×3 आव्यूह है कि |adj A| = 64 है। तो |A| बराबर है :

   Let A be a 3×3 matrix such that |adj A| = 64. Then |A| is equal to:

   (a) केवल 8 / 8 only

   (b) केवल -8 / -8 only

   (c) 64

   (d) 8 अथवा -8 / 8 or -8

4. यदि A = [[3, 4], [5, 2]] है तथा 2A + B एक शून्य आव्यूह है, तो B बराबर है :

   If A = [[3, 4], [5, 2]] and 2A + B is a null matrix, then B is equal to:

   (a) [[6, 8], [10, 4]]

   (b) [[-6, -8], [-10, -4]]

   (c) [[5, 8], [10, 3]]

   (d) [[-5, -8], [-10, -3]]

5. यदि d/dx (f(x)) = log x है, तो f(x) बराबर है :

   If d/dx (f(x)) = log x, then f(x) equals :

   (a) -1/x + C

   (b) x(log x - 1) + C

   (c) x(log x + x) + C

   (d) 1/x + C

6. ∫[0 to π/6] sec²(x - π/6) dx बराबर है / is equal to :

   (a) 1/√3

   (b) -1/√3

   (c) √3

   (d) -√3

7. अवकल समीकरण d²y/dx² + (dy/dx)³ = sin y की कोटि तथा घात का योगफल है :

   The sum of the order and the degree of the differential equation d²y/dx² + (dy/dx)³ = sin y is:

   (a) 5

   (b) 2

   (c) 3

   (d) 4

8. p का वह मान जिसके लिए सदिश 2î + pĵ + k̂ तथा -4î - 6ĵ + 26k̂ परस्पर लंबवत हैं, है :

   The value of p for which the vectors 2î + pĵ + k̂ and -4î - 6ĵ + 26k̂ are perpendicular to each other, is:

   (a) 3

   (b) -3

   (c) -17/3

   (d) 17/3

9. (î × ĵ) · ĵ + (ĵ × î) · k̂ का मान है :

   The value of (î × ĵ) · ĵ + (ĵ × î) · k̂ is:

   (a) 2

   (b) 0

   (c) 1

   (d) -1

10. यदि a⃗ + b⃗ = î तथा a⃗ = 2î - 2ĵ + 2k̂ है, तो |b⃗| बराबर है :

    If a⃗ + b⃗ = î and a⃗ = 2î - 2ĵ + 2k̂, then |b⃗| equals:

    (a) √14

    (b) 3

    (c) √12

    (d) √17

11. रेखा (x - 1)/2 = (1 - y)/3 = (2z - 1)/12 के दिक्-कोसाइन हैं :

    Direction cosines of the line (x - 1)/2 = (1 - y)/3 = (2z - 1)/12 are:

    (a) 2/7, 3/7, 6/7

    (b) 2/√157, -3/√157, 12/√157

    (c) 2/7, -3/7, -6/7

    (d) 2/7, -3/7, 6/7

12. यदि P(A/B) = 0.3, P(A) = 0.4 तथा P(B) = 0.8 है, तो P(B/A) बराबर है :

    If P(A/B) = 0.3, P(A) = 0.4 and P(B) = 0.8, then P(B/A) is equal to:

    (a) 0.6

    (b) 0.3

    (c) 0.06

    (d) 0.4

13. k का वह मान जिसके लिए

    f(x) = { 3x + 5, x ≥ 2

    { kx², x < 2

    एक संतत फलन है, है :

    The value of k for which f(x) is a continuous function, is:

    (a) -11/4

    (b) 4/11

    (c) 11

    (d) 11/4

14. यदि A = [[0, 1], [-1, 0]] तथा (3I + 4A)(3I - 4A) = x²I है, तो x का/के मान है/हैं :

    If A = [[0, 1], [-1, 0]] and (3I + 4A)(3I - 4A) = x²I, then the value(s) of x is/are:

    (a) ±√7

    (b) 0

    (c) ±5

    (d) 25

15. अवकल समीकरण x dy - (1 + x²) dx = dx का व्यापक हल है :

    The general solution of the differential equation x dy - (1 + x²) dx = dx is:

    (a) y = 2x + x³/3 + C

    (b) y = 2 log x + x³/3 + C

    (c) y = x²/2 + C

    (d) y = 2 log x + x²/2 + C

16. यदि f(x) = a(x - cos x), R में निरंतर ह्रासमान है, तो 'a' निम्न में से किस में स्थित है?

    If f(x) = a(x - cos x) is strictly decreasing in R, then 'a' belongs to:

    (a) {0}

    (b) (0, ∞)

    (c) (-∞, 0)

    (d) (-∞, ∞)

17. किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या के आलेखीय निरूपण में सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिन्दु (2, 72), (15, 20) तथा (40, 15) हैं। यदि z = 18x + 9y उद्देश्य फलन है, तो :

    The corner points of the feasible region in the graphical representation of a linear programming problem are (2, 72), (15, 20) and (40, 15). If z = 18x + 9y be the objective function, then:

    (a) z, (2, 72) पर अधिकतम तथा (15, 20) पर न्यूनतम है / z is maximum at (2, 72), minimum at (15, 20)

    (b) z, (15, 20) पर अधिकतम तथा (40, 15) पर न्यूनतम है / z is maximum at (15, 20), minimum at (40, 15)

    (c) z, (40, 15) पर अधिकतम तथा (15, 20) पर न्यूनतम है / z is maximum at (40, 15), minimum at (15, 20)

    (d) z, (40, 15) पर अधिकतम तथा (2, 72) पर न्यूनतम है / z is maximum at (40, 15), minimum at (2, 72)

18. व्यवरोधों x - y ≥ 0, 2y ≤ x + 2, x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा बने सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिन्दुओं की संख्या है :

    The number of corner points of the feasible region determined by the constraints x - y ≥ 0, 2y ≤ x + 2, x ≥ 0, y ≥ 0 is:

    (a) 2

    (b) 3

    (c) 4

    (d) 5

निर्देश (प्रश्न 19 और 20):

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है। / Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is the correct explanation of the Assertion (A).

(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है। / Both Assertion (A) and Reason (R) are true, but Reason (R) is not the correct explanation of the Assertion (A).

(c) अभिकथन (A) सही है तथा तर्क (R) ग़लत है। / Assertion (A) is true and Reason (R) is false.

(d) अभिकथन (A) ग़लत है तथा तर्क (R) सही है। / Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

1. अभिकथन (A) : फलन f(x) = 2 sin⁻¹x + 3π/2, जहाँ x ∈ [-1, 1], का परिसर [π/2, 5π/2] है।

   Assertion (A): The range of the function f(x) = 2 sin⁻¹x + 3π/2, where x ∈ [-1, 1], is [π/2, 5π/2].

   तर्क (R) : sin⁻¹(x) की मुख्य मान शाखा का परिसर [0, π] है।

   Reason (R): The range of the principal value branch of sin⁻¹(x) is [0, π].

2. अभिकथन (A) : बिन्दुओं (1, 2, 3) तथा (3, -1, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण (x - 3)/2 = (y + 1)/3 = (z - 3)/0 है।

   Assertion (A): Equation of a line passing through the points (1, 2, 3) and (3, -1, 3) is (x - 3)/2 = (y + 1)/3 = (z - 3)/0.

   तर्क (R) : बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) तथा (x₂, y₂, z₂) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण (x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁) है।

   Reason (R): Equation of a line passing through points (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) is given by (x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁).

खण्ड ख / SECTION B

(अति लघु-उत्तरीय प्रश्न / 2 अंक प्रत्येक)

1. (क) f(x) = 2x द्वारा परिभाषित फलन f : A → B, एकैकी और आच्छादक दोनों है। यदि A = {1, 2, 3, 4} है, तो समुच्चय B ज्ञात कीजिए।

   (a) A function f : A → B defined as f(x) = 2x is both one-one and onto. If A = {1, 2, 3, 4}, then find the set B.

   अथवा / OR

   (ख) मान ज्ञात कीजिए : sin⁻¹(sin(3π/4)) + cos⁻¹(cos(3π/4)) + tan⁻¹(1)

   (b) Evaluate: sin⁻¹(sin(3π/4)) + cos⁻¹(cos(3π/4)) + tan⁻¹(1)

2. परिमाण 3√3 के वह सभी सदिश ज्ञात कीजिए जो सदिश î + ĵ + k̂ के संरेख हों।

   Find all the vectors of magnitude 3√3 which are collinear to vector î + ĵ + k̂.

3. (क) नीचे दी गई आकृति में दर्शाए गए बिन्दुओं A, B तथा C के स्थिति सदिश क्रमशः a⃗, b⃗ तथा c⃗ हैं। यदि AC⃗ = (5/4) AB⃗ है, तो c⃗ को a⃗ तथा b⃗ के पदों में व्यक्त कीजिए।

   (a) Position vectors of the points A, B and C as shown in the figure below are a⃗, b⃗, c⃗ respectively. If AC⃗ = (5/4) AB⃗, express c⃗ in terms of a⃗ and b⃗.

   अथवा / OR

   (ख) ज्ञात कीजिए कि क्या रेखाएँ जिनके समीकरण x = 2λ + 2, y = 7λ + 1, z = -3λ - 3 तथा x = -μ - 2, y = 2μ + 8, z = 4μ + 5 हैं, परस्पर लंबवत हैं या नहीं।

   (b) Check whether the lines given by equations x = 2λ + 2, y = 7λ + 1, z = -3λ - 3 and x = -μ - 2, y = 2μ + 8, z = 4μ + 5 are perpendicular to each other or not.

4. यदि y = (x + √(x² - 1))² है, तो दर्शाइए कि (x² - 1)(dy/dx)² = 4y².

   If y = (x + √(x² - 1))², then show that (x² - 1)(dy/dx)² = 4y².

5. दर्शाइए कि फलन f(x) = (16 sin x)/(4 + cos x) - x, (π/2, π) में निरंतर ह्रासमान है।

   Show that the function f(x) = (16 sin x)/(4 + cos x) - x is strictly decreasing in (π/2, π).

खण्ड ग / SECTION C

(लघु-उत्तरीय प्रश्न / 3 अंक प्रत्येक)

1. मान ज्ञात कीजिए : ∫[0 to π/2] [log(sin x) - log(2 cos x)] dx

   Evaluate: ∫[0 to π/2] [log(sin x) - log(2 cos x)] dx

2. ज्ञात कीजिए : ∫ 1 / [√x (√x + 1)(√x + 2)] dx

   Find: ∫ 1 / [√x (√x + 1)(√x + 2)] dx

3. (क) अवकल समीकरण dy/dx + sec²x · y = tan x · sec²x का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि y(0) = 0.

   (a) Find the particular solution of the differential equation dy/dx + sec²x · y = tan x · sec²x, given that y(0) = 0.

   अथवा / OR

   (ख) अवकल समीकरण x dy - y dx - √(x² + y²) dx = 0 को हल कीजिए।

   (b) Solve the differential equation given by x dy - y dx - √(x² + y²) dx = 0.

4. निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेख द्वारा हल कीजिए :

   z = 6x + 3y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत, अधिकतम मान ज्ञात कीजिए :

   4x + y ≥ 80,

   3x + 2y ≤ 150,

   x + 5y ≥ 115,

   x ≥ 0, y ≥ 0.

   Solve graphically the following linear programming problem:

   Maximise z = 6x + 3y,

   subject to the constraints

   4x + y ≥ 80,

   3x + 2y ≤ 150,

   x + 5y ≥ 115,

   x ≥ 0, y ≥ 0.

5. (क) किसी यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है :

   | X | 1 | 2 | 3 |

   | P(X) | k/2 | k/3 | k/6 |

   (i) k का मान ज्ञात कीजिए।

   (ii) ज्ञात कीजिए : P(1 ≤ X < 3)

   (iii) X का माध्य E(X) ज्ञात कीजिए।

   (a) The probability distribution of a random variable X is given below:

   | X | 1 | 2 | 3 |

   | P(X) | k/2 | k/3 | k/6 |

   (i) Find the value of k.

   (ii) Find P(1 ≤ X < 3).

   (iii) Find E(X), the mean of X.

   अथवा / OR

   (ख) A तथा B ऐसी स्वतंत्र घटनाएँ हैं कि P(A ∩ B̄) = 1/4 तथा P(Ā ∩ B) = 1/6 है। P(A) तथा P(B) ज्ञात कीजिए।

   (b) A and B are independent events such that P(A ∩ B̄) = 1/4 and P(Ā ∩ B) = 1/6. Find P(A) and P(B).

6. (क) मान ज्ञात कीजिए : ∫[0 to π/2] eˣ sin x dx

   (a) Evaluate: ∫[0 to π/2] eˣ sin x dx

   अथवा / OR

   (ख) ज्ञात कीजिए : ∫ 1 / [cos(x - a) cos(x - b)] dx

   (b) Find: ∫ 1 / [cos(x - a) cos(x - b)] dx

खण्ड घ / SECTION D

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न / 5 अंक प्रत्येक)

1. एक संबंध R, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : x · y एक अपरिमेय संख्या है}। जाँच कीजिए कि क्या R, स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है या नहीं।

   A relation R is defined on a set of real numbers R as R = {(x, y) : x · y is an irrational number}. Check whether R is reflexive, symmetric and transitive or not.

2. (क) यदि A = [[1, 2, -2], [-1, 3, 0], [0, -2, 1]] तथा B⁻¹ = [[3, -1, 1], [-15, 6, -5], [5, -2, 2]] है, तो (AB)⁻¹ ज्ञात कीजिए।

   (a) If A = [[1, 2, -2], [-1, 3, 0], [0, -2, 1]] and B⁻¹ = [[3, -1, 1], [-15, 6, -5], [5, -2, 2]], find (AB)⁻¹.

   अथवा / OR

   (ख) आव्यूह विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए :

   x + 2y + 3z = 6

   2x - y + z = 2

   3x + 2y - 2z = 3

   (b) Solve the following system of equations by matrix method:

   x + 2y + 3z = 6

   2x - y + z = 2

   3x + 2y - 2z = 3

3. (क) उस रेखा के सदिश तथा कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु (1, 2, -4) से होकर जाती है तथा बिन्दुओं A(3, 3, -5) तथा B(1, 0, -11) को मिलाने वाली रेखा के समांतर है। अतः इन दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

   (a) Find the vector and the Cartesian equations of a line passing through the point (1, 2, -4) and parallel to the line joining the points A(3, 3, -5) and B(1, 0, -11). Hence, find the distance between the two lines.

   अथवा / OR

   (ख) बिन्दुओं A(1, 2, 3) तथा B(3, 5, 9) से होकर जाने वाली रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए। अतः इस रेखा पर उन बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु B से 14 इकाई की दूरी पर हैं।

   (b) Find the equations of the line passing through the points A(1, 2, 3) and B(3, 5, 9). Hence, find the coordinates of the points on this line which are at a distance of 14 units from point B.

4. समाकलन के प्रयोग से वक्र x² = y, y = x + 2 तथा x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

   Find the area of the region bounded by the curves x² = y, y = x + 2 and x-axis, using integration.

खण्ड ङ / SECTION E

(प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न / 4 अंक प्रत्येक)

36. प्रकरण अध्ययन - 1 / Case Study - 1

योग के कई प्रकार हैं जिनमें योग के विभिन्न प्रकार के आसन, मनन-प्रार्थना, प्राणायाम इत्यादि हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है (अनुसार योग, कुंडलिनी योग, विन्यास योग, बिक्रम योग, हाथ योग)।

There are different types of Yoga which involve the usage of different poses of Yoga Asanas, Meditation and Pranayam as shown in the figure (Anusara Yoga, Kundalini Yoga, Vinyasa Yoga, Bikram Yoga, Hatha Yoga).

नीचे दी गई वेन-आकृति में, एक सोसाइटी के लोगों द्वारा किए गए तीन विभिन्न प्रकार के योग A, B तथा C की प्रायिकताओं को दर्शाया गया है। यह भी दिया गया है कि एक सदस्य द्वारा C प्रकार के योग करने की प्रायिकता 0.44 है।

The Venn diagram represents the probabilities of three different types of Yoga, A, B and C performed by the people of a society. Further, it is given that probability of a member performing type C Yoga is 0.44.

(वेन आरेख मान: A-only = 0.32, A∩B = 0.09, B-only = y, B∩C = x, C-only = 0.21, Outside = 0.11)

उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर, निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए / On the basis of the above information, answer the following questions:

(i) x का मान ज्ञात कीजिए। / Find the value of x. (1 अंक)

(ii) y का मान ज्ञात कीजिए। / Find the value of y. (1 अंक)

(iii) (क) P(C/B) ज्ञात कीजिए। / (a) Find P(C/B). (2 अंक)

अथवा / OR

(iii) (ख) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सोसाइटी का एक यादृच्छया चुना गया सदस्य A या B प्रकार का योग करता है परन्तु C प्रकार का नहीं। / (b) Find the probability that a randomly selected person of the society does Yoga of type A or B but not C. (2 अंक)

37. प्रकरण अध्ययन - 2 / Case Study - 2

निम्न आकृति में दर्शाए गए टैंक, जो बेलन तथा शंकु को जोड़कर बने हैं, एक सीधे आधार वाले टैंक से पानी की अच्छी निकासी देते हैं।

एक ऐसा टैंक, जिसका शंक्वाकार भाग पानी से भरा है, में एक नल लगाया गया तथा नल से 2 cm³/s की समान दर से पानी टपक रहा है। शंक्वाकार टैंक का अर्ध-शीर्ष कोण 45° है।

A tank formed using a combination of a cylinder and a cone offers better drainage as compared to a flat bottomed tank.

A tap is connected to such a tank whose conical part is full of water. Water is dripping out from a tap at the bottom at the uniform rate of 2 cm³/s. The semi-vertical angle of the conical tank is 45°.

उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए / On the basis of given information, answer the following questions:

(i) टैंक में पानी के आयतन को त्रिज्या r के पदों में व्यक्त कीजिए। / Find the volume of water in the tank in terms of its radius r. (1 अंक)

(ii) उस समय जब r = 2√2 cm है, त्रिज्या के बदलने की दर ज्ञात कीजिए। / Find rate of change of radius at an instant when r = 2√2 cm. (1 अंक)

(iii) (क) उस समय जब r = 2√2 cm है, शंक्वाकार टैंक के गीले तल के घटने की दर ज्ञात कीजिए। / (a) Find the rate at which the wet surface of the conical tank is decreasing at an instant when radius r = 2√2 cm. (2 अंक)

अथवा / OR

(iii) (ख) जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm है, उस समय ऊँचाई 'h' के बदलने की दर ज्ञात कीजिए। / (b) Find the rate of change of height 'h' at an instant when slant height is 4 cm. (2 अंक)

38. प्रकरण अध्ययन - 3 / Case Study - 3

एक रोलर कोस्टर द्वारा तय किया गया पथ बहुपद f(x) = a(x + 9)(x + 1)(x - 3) द्वारा प्रदत्त है। यदि यह रोलर कोस्टर y-अक्ष को बिंदु (0, -1) पर मिलता है, तो निम्न के उत्तर दीजिए :

The equation of the path traced by a roller-coaster is given by the polynomial f(x) = a(x + 9)(x + 1)(x - 3). If the roller-coaster crosses y-axis at a point (0, -1), answer the following:

(i) 'a' का मान ज्ञात कीजिए। / Find the value of 'a'. (2 अंक)

(ii) x = 1 पर f''(x) ज्ञात कीजिए। / Find f''(x) at x = 1. (2 अंक)

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