Haryana Board (BSEH) Class-12 Mathematics-Previous Year Question Paper 2023 (HBSE) PDF Download (Free)

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सामान्य निर्देश : 
(i) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। 
(ii) इस प्रश्न-पत्र में कुल 35 प्रश्न हैं, जो कि चार खण्डों : ‘अ’, ‘ब’, ‘स’ एवं ‘द’ में बाँटे गए हैं : 
खण्ड ‘अ’ : इस खण्ड में प्रश्न संख्या 1 से 16 तक कुल सोलह प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है। 
खण्ड ‘ब’ : इस खण्ड में प्रश्न संख्या 17 से 26 तक कुल दस प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है। 
खण्ड ‘स’ : इस खण्ड में प्रश्न संख्या 27 से 31 तक कुल पाँच प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है। 
खण्ड ‘द’ : इस खण्ड में प्रश्न संख्या 32 से 35 तक कुल चार प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 6 अंकों का है। 
(iii) खण्ड-द के दो प्रश्नों में आंतरिक विकल्प दिये गये हैं। आपको प्रत्येक में से एक विकल्प करना है। 

General Instructions : 
(i) All questions are compulsory. 
(ii) This question paper consists of 35 questions, which are divided into four Sections : 'A', 'B', 'C' and 'D' : 
Section 'A' : It contains 16 questions from 1 to 16. Each question carries 1 mark. 
Section 'B' : It contains 10 questions from 17 to 26. Each question carries 2 marks. 
Section 'C' : It contains 5 questions from 27 to 31. Each question carries 4 marks. 
Section 'D' : It contains 4 questions from 32 to 35. Each question carries 6 marks. 
(iii) Internal choices are given in two questions of Section-D. You have to attempt one from each. 

खण्ड – अ 
SECTION – A 

1. यदि A = R – {3}, B = R – {1} और f(x) = (x-2)/(x-3), तो f : A → B है : 
(A) एकैकी और आच्छादक 
(B) न एकैकी और न आच्छादक 
(C) एकैकी पर आच्छादक नहीं 
(D) बहुएकी और आच्छादक 
If A = R - {3}, B = R - {1} and f(x) = (x - 2)/(x - 3), then f : A → B is : 
(A) One-one, onto 
(B) Neither one-one nor onto 
(C) One-one, into 
(D) Many-one, onto 

2. tan⁻¹√3 - cot⁻¹(-√3) का मुख्य मान है : 
(A) π 
(B) -π/2 
(C) 0 
(D) 2√3 
The principal value of tan⁻¹√3 - cot⁻¹(-√3) is : 
(A) π 
(B) -π/2 
(C) 0 
(D) 2√3 

3. यदि A = [cos α  sin α; -sin α  cos α], तो A'A है : 
(A) I 
(B) [cos² α  sin² α; -sin² α  cos² α] 
(C) [2 cos α  0; 0  2 cos α] 
(D) 1 
If A = [cos α  sin α; -sin α  cos α], then A'A is : 
(A) I 
(B) [cos² α  sin² α; -sin² α  cos² α] 
(C) [2 cos α  0; 0  2 cos α] 
(D) 1 

4. यदि |A| = |0 1 2; -1 0 -3; -2 3 0|, तो |A| का मान ज्ञात कीजिए। 1 
If |A| = |0 1 2; -1 0 -3; -2 3 0|, then find the value of |A|. 

5. यदि f(x) = { 5, x ≤ 2; ax+b, 2 < x < 10; 21, x ≥ 10 } सभी x के मान के लिए एक सतत फलन है, तो a और b का मान है : 1 
(A) a = 1, b = 2 
(B) a = 2, b = 1 
(C) a = 5, b = 21 
(D) a = 21, b = 5 
If f(x) = { 5, x ≤ 2; ax+b, 2 < x < 10; 21, x ≥ 10 } is a continuous function for all values of x, then the values of a and b are : 
(A) a = 1, b = 2 
(B) a = 2, b = 1 
(C) a = 5, b = 21 
(D) a = 21, b = 5 

6. एक वृत्त की त्रिज्या 3 cm/sec की दर से बढ़ रही है। वृत्त के क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए जब वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। 1 
Radius of a circle is increasing at the rate of 3 cm/sec. Find the rate of change of area when radius of circle is 10 cm. 

7. परवलय y² = 4ax की स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु (at², 2at) पर है : 1 
(A) t 
(B) 2/t 
(C) 1/t 
(D) इनमें से कोई नहीं 
The slope of the tangent to the curve y² = 4ax at the point (at², 2at) is : 
(A) t 
(B) 2/t 
(C) 1/t 
(D) None of these 

8. ∫ (sec²x / cosec²x) dx का मान है : 1 
(A) -tan²x + c 
(B) -cot²x + c 
(C) tan x - x + c 
(D) इनमें से कोई नहीं 
∫ (sec²x / cosec²x) dx is equal to : 
(A) -tan²x + c 
(B) -cot²x + c 
(C) tan x - x + c 
(D) None of these 

9. मान ज्ञात कीजिए : 
∫ x cos 2x dx 
Evaluate : 
∫ x cos 2x dx 

10. y = a sin(x + b) से प्रदत्त वक्रों के परिवार की अवकल समीकरण है : 
(A) d²y/dx² = y 
(B) a d²y/dx² = by 
(C) b d²y/dx² = ay 
(D) d²y/dx² + y = 0 
The differential equation representing the family of curve y = a sin(x + b) is : 
(A) d²y/dx² = y 
(B) a d²y/dx² = by 
(C) b d²y/dx² = ay 
(D) d²y/dx² + y = 0 

11. अवकल समीकरण dy/dx = y tan x का व्यापक हल निकालें। 
Find general solution of the differential equation dy/dx = y tan x. 

12. यदि P(E) = 3/5, P(F) = 3/10, E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(E ∪ F) का मान है : 
(A) 9/10 
(B) 9/50 
(C) 36/50 
(D) इनमें से कोई नहीं 
If P(E) = 3/5, P(F) = 3/10, E and F are independent, then P(E ∪ F) is : 
(A) 9/10 
(B) 9/50 
(C) 36/50 
(D) None of these 

13. एक पासे को 6 बार फेंका जाता है। 4 बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 1 
A die is thrown 6 times. Find the probability of getting odd number 4 times. 

14. एक यादृच्छिक चर के प्रसरण ज्ञात करने के लिए सूत्र लिखिए। 1 
Write the formula for finding variance of a random variable. 

15. यदि एक इकाई सदिश î के साथ π/3, ĵ के साथ π/4 और k̂ के साथ θ न्यूनकोण बनाता है, तो θ का मान है : 1 
(A) π/6 
(B) π/4 
(C) π/3 
(D) π/2 
If a unit vector makes π/3 with î, π/4 with ĵ and an acute angle θ with k̂, then θ is : 
(A) π/6 
(B) π/4 
(C) π/3 
(D) π/2 

16. समतलों 2x + y + 3z = 2 और x - 2y = 5 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 1 
Find the angle between the planes 2x + y + 3z = 2 and x - 2y = 5. 

17. यदि f : R → R, f(x) = (3 - x³)^(1/3), तो fof(x) ज्ञात कीजिए। f⁻¹(x) भी ज्ञात करें। 
If f : R → R, f(x) = (3 - x³)^(1/3), then find fof(x). Hence find f⁻¹(x). 

18. दर्शाइए कि : 
tan⁻¹(x / √(a² - x²)) = sin⁻¹(x/a) 
जहाँ |x| < a. 
Show that : 
tan⁻¹(x / √(a² - x²)) = sin⁻¹(x/a) 
where |x| < a. 

19. यदि A = [2 -3 4; -1 2 3] और B = [2 1; 4 5; 2 3], तो AB ज्ञात कीजिए। 
If A = [2 -3 4; -1 2 3] and B = [2 1; 4 5; 2 3], then find AB. 

20. सिद्ध कीजिए : 
|1  bc  a(b+c); 1  ca  b(c+a); 1  ab  c(a+b)| = 0 
Prove that : 
|1  bc  a(b+c); 1  ca  b(c+a); 1  ab  c(a+b)| = 0 

21. यदि f(x) = x cos x, तो f'(x) ज्ञात कीजिए। 
If f(x) = x cos x, find f'(x). 

22. यदि y = cos⁻¹(2x / (1+x²)), -1 < x < 1, तो dy/dx ज्ञात कीजिए। 
If y = cos⁻¹(2x / (1+x²)), -1 < x < 1, then find dy/dx. 

23. मान ज्ञात कीजिए : 
∫ (2x+3)/(x²+3x+2) dx 
Evaluate : 
∫ (2x+3)/(x²+3x+2) dx 

24. मान ज्ञात कीजिए : 
∫₀^(π/2) (sin⁴x) / (sin⁴x + cos⁴x) dx 
Evaluate : 
∫₀^(π/2) (sin⁴x) / (sin⁴x + cos⁴x) dx 

25. अवकल समीकरण dy/dx + y sec x = tan x, (0 ≤ x < π/2) को हल कीजिए। 
Solve the differential equation dy/dx + y sec x = tan x, (0 ≤ x < π/2). 

26. एक न्याय पासे को एक बार फेंकने से आने वाली संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए। 
Find mean of the number obtained on a throw of an unbiased die. 

खण्ड – स 
SECTION – C 

27. समीकरण 2 tan⁻¹(cos x) = tan⁻¹(2 cos x) को हल कीजिए। 
Solve the equation 2 tan⁻¹(cos x) = tan⁻¹(2 cos x). 

28. फलन f(x) = x² - 4x - 3 पर लैंग्रांज मध्यमान प्रमेय का अंतराल [1, 4] पर सत्यापन कीजिए। 
Verify Lagrange mean value theorem for the function f(x) = x² - 4x - 3 on the interval [1, 4]. 

29. 20 cm त्रिज्या वाले वृत्त के अंतर्गत बनने वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है। उस वर्ग का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। 4 
Prove that among all rectangles inscribed in a circle of radius 20 cm, square has the maximum area. Also find the area of that square. 

30. तीन सिक्कों में, एक दोनों तरफ चित (Head) वाला सिक्का है, दूसरे सिक्के में 60% बार चित आता है और तीसरा न्याय (Unbiased) सिक्का है। यदि एक सिक्का यादृच्छया चुना जाता है और उसे उछालने पर चित (Head) आता है, तो उसके दोनों तरफ चित वाला सिक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 4 
There are three coins. One is two headed coin (having head on both sides), another is a biased coin that comes up head 60% of the time and third is unbiased coin. One of the three coins is chosen at random and tossed. If head occurs what is the probability that it is two headed coin. 

31. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिंदु A(1, 1, 1), B(1, 2, 3) और C(2, 3, 1) हैं। 4 
Find the area of the triangle having the vertices A(1, 1, 1), B(1, 2, 3) and C(2, 3, 1). 

खण्ड – द 
SECTION – D 

32. निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए : 6 
2x + 3y + 3z = 5 
x - 2y + z = -4 
3x - y - 2z = 3 

अथवा 

सिद्ध कीजिए : 
|1+a²-b²  2ab  -2b; 2ab  1-a²+b²  2a; 2b  -2a  1-a²-b²| = (1 + a² + b²)³ 
Prove that : 
|1+a²-b²  2ab  -2b; 2ab  1-a²+b²  2a; 2b  -2a  1-a²-b²| = (1 + a² + b²)³ 

33. वृत्तों x² + y² = 4 और (x-2)² + y² = 4 के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
Find the area of the region enclosed between the circles x² + y² = 4 and (x-2)² + y² = 4. 

अथवा 

निम्नलिखित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए : 
{ (x, y) : 0 ≤ y ≤ (x² + 1), 0 ≤ y ≤ (x+1), 0 ≤ x ≤ 2 } 
Find the area of the region 
{ (x, y) : 0 ≤ y ≤ (x² + 1), 0 ≤ y ≤ (x+1), 0 ≤ x ≤ 2 } 

34. रेखाओं (x+1)/7 = (y+1)/(-6) = (z+1)/1 और (x-3)/1 = (y-5)/(-2) = (z-7)/1 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। 6 
Find the shortest distance between the lines (x+1)/7 = (y+1)/(-6) = (z+1)/1 and (x-3)/1 = (y-5)/(-2) = (z-7)/1. 

35. एक भोज्य पदार्थ में 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होने चाहिए। दो भोज्य F1 और F2 उपलब्ध हैं। भोज्य F1 में 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज हैं। भोज्य F2 में 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज हैं। भोज्य F1 के एक मात्रक की कीमत ₹4 और F2 के एक मात्रक की कीमत ₹6 है। इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में व्यक्त कीजिए। दोनों भोज्य को मिलाकर ऐसा भोज्य बनाइए जो निम्नतम मूल्य का हो और विटामिन और खनिज की आवश्यकताओं की पूर्ति करता है। 6 
A diet is to contain at least 80 units of Vitamin A and 100 units of minerals. Two foods F1 and F2 are available. Food F1 costs Rs. 4 per unit and F2 costs Rs. 6 per unit. One unit of F1 contains 3 units of Vitamin A and 4 units of minerals. One unit of food F2 contains 6 units of Vitamin A and 3 units of minerals. Formulate the linear programming problems. Find the minimum cost for diet that consists of mixture of two foods which meets the minimal nutritional requirement.

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