UP Board CLASS 12 PREVIOUS YEAR QUESTION PAPER 

UP Board Class 12 Mathematics Question Paper 2013 – First & Second Paper

इण्टरमीडिएट परीक्षा, 2013
गणित - प्रथम प्रश्नपत्र
समय : 3 घण्टे 15 मिनट
334 (CV)
पूर्णांक : 50

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका एक मूल (1 - i) है।
(ख) एक समान्तर श्रेढ़ी के चौथे एवं सोलहवें पदों का योगफल 8 है। इस श्रेढ़ी के 19 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(ग) θ का व्यापक मान ज्ञात कीजिए यदि tan 3θ = cot θ.
(घ) सिद्ध कीजिए कि:
1/(1 - i)^2 - 1/(1 + i)^2 = i
(ङ) किसी समान्तर चतुर्भुज ABCD में सदिश AB = सदिश a, सदिश BC = सदिश b तो BD का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) सिद्ध कीजिए कि बिन्दु सदिश a, सदिश b तथा (3a - 2b) समरेखीय हैं।
(ख) यदि A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 7} तथा C = {1, 2, 3, 5, 8} तो (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C) को सत्यापित कीजिए।
(ग) (2x + 1) / [(x - 1)(x^2 + 1)] को आंशिक भिन्नों में वियोजित कीजिए।
(घ) बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि सारणिक:
| x+y  z  1 |
| y+z  x  1 | = 0
| z+x  y  1 |
(ङ) सिद्ध कीजिए कि:
(cos θ + i sin θ)^4 / (sin θ + i cos θ)^5 = sin 9θ - i cos 9θ

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) एक पासे को यदृच्छया पाँच बार फेंका जाता है। कोई एक निश्चित अंक कम-से-कम चार बार ऊपर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ख) सिद्ध कीजिए कि:
2n P n = 2^n [1 . 3 . 5 . 7 ....... (2n - 1)]
(ग) यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हों, तो सिद्ध कीजिए कि log a, log b, log c समान्तर श्रेणी में होंगे।
(घ) यदि cos^-1 x + cos^-1 y + cos^-1 z = π, तो सिद्ध कीजिए कि x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1.
(ङ) यदि प्रतिचित्रण f: R -> R, f(x) = sin x से परिभाषित हो और प्रतिचित्रण g: R -> R, g(x) = x^2 तो सिद्ध कीजिए कि gof ≠ fog.

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) (√x + 1 / (3x^2))^10 के प्रसार में अचर पद का मान ज्ञात कीजिए।
(ख) श्रेणी 1 + 2.(1/3) + 3.(1/3^2) + 4.(1/3^3) + ...... के अनन्त पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।
(ग) यदि 1, ω, ω^2 इकाई के घनमूल हों तो सिद्ध कीजिए कि:
(1 - ω + ω^2)^5 + (1 + ω - ω^2)^5 = 32
(घ) उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ (i + 2j + 3k) तथा (3i - 2j + k) हैं।

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) वेन आरेख की सहायता से सिद्ध कीजिए कि:
A - (B ∩ C) = (A - B) U (A - C)
(ख) सिद्ध कीजिए कि श्रेणी:
2/1! + 6/2! + 12/3! + 20/4! + ... ∞ = 3e
(ग) समीकरण tan θ + tan 2θ + tan 3θ = tan θ tan 2θ tan 3θ को हल कीजिए।
(घ) सिद्ध कीजिए कि सारणिक:
| 1   1   1   |
| x   y   z   | = (x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)
| x^3 y^3 z^3 |

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) यदि आव्यूह A =
[ 1 2 3 ]
[ 2 4 5 ]
[ 3 5 6 ]
तो A का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए।
(ख) सिद्ध कीजिए कि:
log(1 + 3x + 2x^2) = 3x - (5x^2)/2 + (9x^3)/3 + .... ∞

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) x मीटर ऊंची दीवार पर खड़ा एक आदमी देखता है कि किसी खंभे के शिखर का उन्नयन कोण α है। दीवार की जड़ (foot) से उसी खंभे के शिखर का उन्नयन कोण β है। दिखाइए कि खंभे की ऊँचाई:
(x sin β cos α) / sin(β - α) मीटर है।
(ख) बिन्दु (i + 2j - k) तथा समतलों r . (3i - j + k) = 1 एवं r . (i + 4j - 2k) = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) सिद्ध कीजिए कि:
i × (a × i) + j × (a × j) + k × (a × k) = 2a
(ख) किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि:
(1/r1 + 1/r2)(1/r2 + 1/r3)(1/r3 + 1/r1) = 64R^3 / (a^2 b^2 c^2)

इण्टरमीडिएट परीक्षा, 2013
गणित-द्वितीय प्रश्नपत्र
समय : 3 घण्टे 15 मिनट
335 (DE)
पूर्णांक : 50

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) यदि f(x) = sin x + cos 2x तो f(π/4) तथा f(π/6) का मान ज्ञात कीजिए।
(ख) ∫ [(sin x + cos x) / √(1 + sin 2x)] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(ग) यदि समीकरण 3x^2 - 8xy + ky^2 = 0 से निरूपित सरल रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं तो k का मान ज्ञात कीजिए।
(घ) वृत्त x^2 + y^2 = 10 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जिन पर रेखा x + 3 = 0 वृत्त का छेदन करती है।
(ङ) यदि दो बलों (P + Q) तथा (P - Q) का परिणामी √[2(P^2 + Q^2)] है तो बलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) यदि y = √[(1 - sin 2x) / (1 + sin 2x)] तो सिद्ध कीजिए कि:
dy/dx + sec^2(π/4 - x) = 0
(ख) ∫ [cos x / cos(x - a)] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(ग) सिद्ध कीजिए कि समीकरण 4x^2 + 12xy + 9y^2 + 6x + 9y + 2 = 0 दो समान्तर रेखाओं को निरूपित करता है।
(घ) सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य का उड्डयन काल (2u sin α) / g होता है, जहाँ u तथा α क्रमशः प्रक्षेपण वेग एवं क्षैतिज से प्रक्षेपण कोण हैं।
(ङ) 10 किग्रा भार तथा 4 किग्रा भार के दो समदिश समान्तर बल किसी पिण्ड के दो बिन्दुओं A तथा B पर इस प्रकार कार्य कर रहे हैं कि AB = 10 मीटर है। यदि उनका परिणामी AB के बिन्दु C पर कार्य करता है, तो परिणामी बल तथा दूरी AC ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किन्हीं चार खण्डों को हल कीजिए:
(क) फलन a^x का x के सापेक्ष प्रथम सिद्धान्त से अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
(ख) ∫ [dx / (x^4 - 1)] का मान ज्ञात कीजिए।
(ग) यदि रेखा y = x√2 - 4a√2 परवलय y^2 = 4ax को बिन्दुओं P तथा Q पर काटती है तो सिद्ध कीजिए कि जीवा PQ की लम्बाई 6√3 a है।
(घ) एक गेंद जिसका भार 1 किग्रा है, 7 मी/से के वेग से गतिमान है, एक दूसरी गेंद जिसका भार 2 किग्रा है तथा विपरीत दिशा में 1 मी/से के वेग से चल रही है, से टकराती है। यदि प्रत्यास्थता गुणांक 3/4 हो, तो टकराने के बाद हल्की गेंद का वेग ज्ञात कीजिए।
(ङ) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2) एवं (-2, 2) से होकर जाता है तथा जिसका केन्द्र सरल रेखा 8x - 4y + 9 = 0 पर स्थित है।

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) सिद्ध कीजिए कि:
Lim (x->0) [(tan x - sin x) / x^3] = 1/2
(ख) ∫ √[(1 - √x) / (1 + √x)] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(ग) उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केन्द्रता 2/3, नाभि (3, 4) तथा नियता 3x + 4y = 5 है।
(घ) किसी कण पर तीन बल P, Q एवं R क्रमशः पूरब, उत्तर तथा दक्षिण-पश्चिम की ओर कार्य करते हुए संतुलनावस्था में हैं। यदि P = 12 किग्रा भार है तो Q एवं R के परिमाण ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) फलन f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 6, x के किन मानों पर उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है? फलन के उच्चिष्ठ मानों को भी ज्ञात कीजिए।
(ख) सिद्ध कीजिए कि:
∫ [0 से π/2] x^2 cosec^2 x dx = π log_e 2
(ग) यदि अतिपरवलय x^2/9 - y^2/16 = 1 के बिन्दु (3 sec φ, 4 tan φ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण 8x - 3√3 y = 12 है तो सिद्ध कीजिए कि कोण φ = 60° है।
(घ) M द्रव्यमान की तोप क्षैतिज समतल पर विरामावस्था में है। तोप से एक m द्रव्यमान का गोला छोड़ा जाता है। यदि तोप की नाल क्षैतिज से α कोण बनाती है तथा गोला क्षैतिज से θ कोण बनाता हुआ तोप से निकलता है, तो सिद्ध कीजिए कि:
tan θ = (1 + m/M) tan α

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) (i) वक्र y = x^2 - x - 8 पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है।
(ii) वक्र x = cos θ, y = sin θ के बिन्दु पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ख) फलन (tan x)^(log x) + (cos x)^(sin x) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) ∫ [(x^2 + 1) / ((x + 1)^3 (x - 2))] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(ख) परवलय y^2 = 4ax तथा सरल रेखा y = mx द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
(क) उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिससे परवलय y^2 = 4ax पर खींचे गए अभिलम्बों में से दो परस्पर लम्ब हैं।
(ख) (i) एक समान त्वरण से गतिमान कोई कण 21वें सेकेण्ड में 46 मीटर और 27वें सेकेण्ड में 58 मीटर चलता है। इसका त्वरण तथा प्रारम्भिक वेग ज्ञात कीजिए।
(ii) एक बल P को P की दिशा के साथ 45° तथा 15° का कोण बनाती हुई दिशाओं में वियोजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि वियोजित भाग [(√3 - 1) / √6] P तथा (√6 / 3) P हैं।

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