CBSE CLASS 12 PREVIOUS YEAR QUESTION PAPER 

                                        Mathematics 

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गणित MATHEMATICS

नोट / NOTE (I) कृपया जाँच कर लें कि इस प्रश्न-पत्र में मुद्रित पृष्ठ 23 हैं । / Please check that this question paper contains 23 printed pages. (II) कृपया जाँच कर लें कि इस प्रश्न-पत्र में 38 प्रश्न हैं। / Please check that this question paper contains 38 questions. (III) प्रश्न-पत्र में दाहिने हाथ की ओर दिए गए प्रश्न-पत्र कोड को परीक्षार्थी उत्तर-पुस्तिका के मुख-पृष्ठ पर लिखें । / Q.P. Code given on the right hand side of the question paper should be written on the title page of the answer-book by the candidate. (IV) कृपया प्रश्न का उत्तर लिखना शुरू करने से पहले, उत्तर-पुस्तिका में यथा स्थान पर प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें । / Please write down the serial number of the question in the answer-book at the given place before attempting it. (V) इस प्रश्न-पत्र को पढ़ने के लिए 15 मिनट का समय दिया गया है। प्रश्न-पत्र का वितरण पूर्वाह्न में 10.15 बजे किया जाएगा । 10.15 बजे से 10.30 बजे तक परीक्षार्थी केवल प्रश्न-पत्र को पढ़ेंगे और इस अवधि के दौरान वे उत्तर-पुस्तिका पर कोई उत्तर नहीं लिखेंगे । / 15 minute time has been allotted to read this question paper. The question paper will be distributed at 10.15 a.m. From 10.15 a.m. to 10.30 a.m., the candidates will read the question paper only and will not write any answer on the answer-book during this period.

सामान्य निर्देश : निम्नलिखित निर्देशों को बहुत सावधानी से पढ़िए और उनका सख्ती से पालन कीजिए : (i) इस प्रश्न-पत्र में कुल 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं । (ii) यह प्रश्न-पत्र पाँच खण्डों में विभाजित है- खण्ड-क, ख, ग, घ एवं ङ । (iii) खण्ड - क में प्रश्न संख्या 1 से 18 तक बहुविकल्पीय तथा प्रश्न संख्या 19 एवं 20 अभिकथन एवं तर्क आधारित 1 अंक के प्रश्न हैं। (iv) खण्ड - ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 तक अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रकार के 2 अंकों के प्रश्न हैं। (v) खण्ड - ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 तक लघु-उत्तरीय (SA) प्रकार के 3 अंकों के प्रश्न हैं। (vi) खण्ड - घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 तक दीर्घ उत्तरीय (LA) प्रकार के 5 अंकों के प्रश्न हैं। (vii) खण्ड - ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन आधारित 4 अंकों के प्रश्न हैं। (viii) प्रश्न-पत्र में समग्र विकल्प नहीं दिया गया है। यद्यपि, खण्ड ख के 2 प्रश्नों में, खण्ड ग के 3 प्रश्नों में, खण्ड - घ के 2 प्रश्नों में तथा खण्ड-ङ के 2 प्रश्नों में आंतरिक विकल्प का प्रावधान दिया गया है। (ix) कैल्कुलेटर का उपयोग वर्जित है।

General Instructions: Read the following instructions very carefully and strictly follow them: (i) This Question paper contains 38 questions. All questions are compulsory. (ii) Question paper is divided into FIVE Sections - Section A, B, C, D and E. (iii) In Section A Question Number 1 to 18 are Multiple Choice Questions (MCQs) and Question Number 19 & 20 are Assertion-Reason based questions of 1 mark each. (iv) In Section B - Question Number 21 to 25 are Very Short Answer (VSA) type questions, carrying 2 marks each. (v) In Section C- Question Number 26 to 31 are Short Answer (SA) type questions, carrying 3 marks each. (vi) In Section D - Question Number 32 to 35 are Long Answer (LA) type questions, carrying 5 marks each. (vii) In Section E- Question Number 36 to 38 are case study based questions, carrying 4 marks each. (viii) There is no overall choice. However, an internal choice has been provided in 2 questions in Section B, 3 questions in Section C, 2 questions in Section - D and 2 questions in Section - E. (ix) Use of calculator is NOT allowed.

खण्ड - क / SECTION-A (20 × 1 = 20)

1. यदि A=​−100​010​001​​, तो A−1 है If A=​−100​010​001​​, then A−1 is (A) ​−100​0−10​00−1​​ (B) ​100​0−10​00−1​​ (C) ​−100​0−10​001​​ (D) ​−100​010​001​​

1. यदि सदिश a=3i^+2j^​−k^ तथा सदिश b=i^−j^​+k^ हैं, तो निम्न में से कौन सा सही है? If vector a=3i^+2j^​−k^ and vector b=i^−j^​+k^, then which of the following is correct? (A) a∥b (B) a⊥b (C) ∣b∣>∣a∣ (D) ∣a∣=∣b∣

1. ∫−11​x∣x∣​dx,x=0; बराबर है : ∫−11​x∣x∣​dx,x=0 is equal to (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

1. निम्न में से कौन सा x तथा y में एक समघातीय फलन नहीं है ? Which of the following is not a homogeneous function of x and y ? (A) y2−xy (B) x−3y (C) sin2xy​+xy​ (D) tanx−secy

1. यदि f(x)=∣x∣+∣x−1∣ है, तो निम्न में से कौन सा सही है ? If f(x)=∣x∣+∣x−1∣, then which of the following is correct? (A) x=0 तथा x=1 पर f(x) संतत तथा अवकलनीय है। / f(x) is both continuous and differentiable, at x=0 and x=1. (B) x=0 तथा x=1 पर f(x) अवकलनीय है परन्तु संतत नहीं है। / f(x) is differentiable but not continuous, at x=0 and x=1. (C) x=0 तथा x=1 पर f(x) संतत है परन्तु अवकलनीय नहीं है। / f(x) is continuous but not differentiable, at x=0 and x=1. (D) x=0 तथा x=1 पर f(x) न तो संतत है और न ही अवकलनीय है। / f(x) is neither continuous nor differentiable, at x=0 and x=1.

1. यदि A कोटि 2 का एक ऐसा वर्ग आव्यूह है जिसके लिए det (A) = 4 है, तो det (4 adj A) बराबर है : If A is a square matrix of order 2 such that det (A) = 4 then det (4 adj A) is equal to: (A) 16 (B) 64 (C) 256 (D) 512

1. यदि E तथा F दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जिनके लिए P(E)=32​ तथा P(F)=73​ है, तो P(E/F) बराबर है : If E and F are two independent events such that P(E)=32​,P(F)=73​ then P(E/F) is equal to : (A) 61​ (B) 21​ (C) 32​ (D) 97​

1. फलन f(x)=x3−3x+2 का [0, 2] में निरपेक्ष उच्चतम मान है : The absolute maximum value of function f(x)=x3−3x+2 in [0, 2] is: (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 5

1. माना A=​10−3​−242​−1−11​​,B=​−2−57​​ तथा C=[987] है, तो निम्न में से कौन सा परिभाषित है ? Let A=​10−3​−242​−1−11​​,B=​−2−5−7​​,C=[987], which of the following is defined? (A) केवल AB / Only AB (B) केवल AC / Only AC (C) केवल BA / Only BA (D) सभी AB, AC तथा BA / All AB, AC and BA

1. यदि ∫x22x1​​dx=k⋅2x1​+C है, तो k बराबर है : If ∫x22x1​​dx=k⋅2x1​+C, then k is equal to (A) log2−1​ (B) −log2 (C) -1 (D) 21​

1. यदि a+b+c=0, ∣a∣=37​, ∣b∣=3 तथा ∣c∣=4 है, तो b तथा c के बीच का कोण है : If a+b+c=0, ∣a∣=37​, ∣b∣=3 and ∣c∣=4, then angle between b and c is (A) 6π​ (B) 4π​ (C) 3π​ (D) 2π​

1. अवकल समीकरण (x+2y3)dxdy​=2y का समाकलन गुणक है : The integrating factor of differential equation (x+2y3)dxdy​=2y is (A) e2y2​ (B) y​1​ (C) y21​ (D) e−y21​

1. यदि A=​700​070​x0y​​ एक अदिश आव्यूह है, तो yx बराबर है : If A=​700​070​x0y​​ is a scalar matrix, then yx is equal to (A) 0 (B) 1 (C) 7 (D) ±7

1. एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के आलेखीय निरूपण के सुसंगत क्षेत्र के कोनीय शीर्ष (2, 72), (15, 20) और (40, 15) हैं। यदि Z=18x+9y इसका उद्देश्य फलन है, तो The corner points of the feasible region in graphical representation of a L.P.P. are (2, 72), (15, 20) and (40, 15). If Z=18x+9y be the objective function, then (A) Z (2, 72) पर अधिकतम, तथा (15, 20) पर न्यूनतम होगा । / Z is maximum at (2, 72), minimum at (15, 20) (B) Z (15, 20) पर अधिकतम, तथा (40, 15) पर न्यूनतम होगा । / Z is maximum at (15, 20) minimum at (40, 15) (C) Z (40, 15) पर अधिकतम, तथा (15, 20) पर न्यूनतम होगा । / Z is maximum at (40, 15), minimum at (15, 20) (D) Z (40, 15) पर अधिकतम, तथा (2, 72) पर न्यूनतम होगा । / Z is maximum at (40, 15), minimum at (2, 72)

1. यदि A तथा B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो निम्न में से कौन सा सही नहीं है ? If A and B are invertible matrices, then which of the following is not correct? (A) (A+B)−1=B−1+A−1 (B) (AB)−1=B−1A−1 (C) adj(A)=∣A∣A−1 (D) ∣A∣−1=∣A−1∣

1. एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या, जिसका उद्देश्य फलन Z=ax+by है, का सुसंगत क्षेत्र एक परिबद्ध क्षेत्र है, तो निम्न में से कौन सा सही है ? If the feasible region of a linear programming problem with objective function Z=ax+by is bounded, then which of the following is correct? (A) इसका केवल अधिकतम मान होगा । / It will only have a maximum value. (B) इसका केवल न्यूनतम मान होगा । / It will only have a minimum value. (C) इसके अधिकतम तथा न्यूनतम दोनों मान होंगे । / It will have both maximum and minimum values. (D) इसका न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान होगा । / It will have neither maximum nor minimum value.

1. वक्र y2=x,x=4 तथा x-अक्ष के बीच के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रदत्त है : The area of the shaded region bounded by the curves y2=x, x=4 and the x-axis is given by (A) ∫04​xdx (B) ∫02​y2dy (C) 2∫04​x​dx (D) ∫04​x​dx

1. एक त्रिकोणमितीय फलन का ग्राफ दिया गया है। निम्न में से कौन सा इसके व्युत्क्रम के ग्राफ को दर्शाता है? The graph of a trigonometric function is as shown. Which of the following will represent graph of its inverse? (A) Graph A (B) Graph B (C) Graph C (D) Graph D

अभिकथन - तर्क आधारित प्रश्न / Assertion - Reason Based Questions निर्देश : प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन (A) और तर्क (R) आधारित प्रश्न हैं, प्रत्येक प्रश्न का 1 अंक है। दो कथन दिए गए हैं जिनमें एक को अभिकथन (A) तथा दूसरे को तर्क (R) द्वारा अंकित किया गया है। इन प्रश्नों के सही उत्तर नीचे दिए गए कोडों (A), (B), (C) और (D) में से चुनकर दीजिए । (A) दोनों, अभिकथन (A) तथा तर्क (R) सही हैं। तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है। / Both Assertion (A) and Reason (R) are true and the Reason (R) is the correct explanation of the Assertion (A). (B) दोनों, अभिकथन (A) तथा तर्क (R) सही हैं परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है। / Both Assertion (A) and Reason (R) are true, but Reason (R) is not the correct explanation of the Assertion (A). (C) अभिकथन (A) सही है परन्तु तर्क (R) गलत है। / Assertion (A) is true, but Reason (R) is false. (D) अभिकथन (A) गलत है जबकि तर्क (R) सही है। / Assertion (A) is false, but Reason (R) is true.

1. अभिकथन (A) : माना Z पूर्णांकों का समुच्चय है। एक फलन f:Z→Z, जो f(x)=3x−5,∀x∈Z द्वारा परिभाषित है, एकैकी आच्छादक है । तर्क (R) : वह फलन जो एकैकी है तथा आच्छादक भी है, एकैकी आच्छादक होता है। Assertion (A): Let Z be the set of integers. A function f:Z→Z defined as f(x)=3x−5,∀x∈Z is a bijective. Reason (R): A function is a bijective if it is both surjective and injective.

1. अभिकथन (A) : f(x)={3x−8,2k,​x≤5x>5​, k=25​ के लिए, x=5 पर संतत है । तर्क (R) : x=a पर फलन f संतत है यदि limx→a−​f(x)=limx→a+​f(x)=f(a) Assertion (A): f(x)={3x−8,2k,​x≤5x>5​ is continuous at x=5 for k=25​ Reason (R): For a function f to be continuous at x=a, limx→a−​f(x)=limx→a+​f(x)=f(a).

खण्ड - ख / SECTION-B (5 × 2 = 10)

1. (a) 2cos2x का cos2x के सापेक्ष अवकलन कीजिए । अथवा (b) यदि tan−1(x2+y2)=a2 है, तो dxdy​ ज्ञात कीजिए । (a) Differentiate 2cos2x w.r.t cos2x. OR (b) If tan−1(x2+y2)=a2, then find dxdy​.

1. मान ज्ञात कीजिए: tan−1[2sin(2cos−123​​)]

Evaluate : tan−1[2sin(2cos−123​​)]

1. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण a=2i^−j^​+k^ तथा b=i^+3j^​−k^ द्वारा निरूपित हैं। The diagonals of a parallelogram are given by a=2i^−j^​+k^ and b=i^+3j^​−k^. Find the area of the parallelogram.

1. वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन f(x)=5x23​−3x25​ (i) वर्धमान है (ii) हासमान है। Find the intervals in which function f(x)=5x23​−3x25​ is (i) increasing (ii) decreasing.

1. (a) दो मित्र अलग-अलग स्थानों से पतंग उड़ाते समय पाते हैं कि उनकी पतंग की डोर एक दूसरे को छू रही हैं। डोरियों को सदिशों a=3i^+j^​+2k^ तथा b=2i^−2j^​+4k^ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। यह मानते हुए कि डोरियों में कोई ढील नहीं है, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए । अथवा (b) परिमाण 21 इकाई का एक सदिश ज्ञात कीजिए जो सदिश AB की विपरीत दिशा में हो जहाँ A(2,1,3) तथा B(8,−1,0) हैं। (a) Two friends while flying kites from different locations, find the strings of their kites crossing each other. The strings can be represented by vectors a=3i^+j^​+2k^ and b=2i^−2j^​+4k^. Determine the angle formed between the kite strings. Assume there is no slack in the strings. OR (b) Find a vector of magnitude 21 units in the direction opposite to that of AB where A and B are the points A(2,1,3) and B(8,−1,0) respectively.

खण्ड - ग / SECTION-C (6 × 3 = 18)

1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसके क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए जब भुजा 15 cm हो । The side of an equilateral triangle is increasing at the rate of 3 cm/s. At what rate its area increasing when the side of the triangle is 15 cm?

1. निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को ग्राफ द्वारा हल कीजिए: व्यवरोधों x−y≥0,x−2y≥−2,x≥0,y≥0 के अंतर्गत Z=x+2y का अधिकतमीकरण करना । Solve the following linear programming problem graphically: Maximise Z=x+2y Subject to the constraints: x−y≥0 x−2y≥−2 x≥0,y≥0

1. (a) ज्ञात कीजिए: ∫1+cosxx+sinx​dx

अथवा (b) मान ज्ञात कीजिए : ∫04π​​cos3x2sin2x​dx​ (a) Find: ∫1+cosxx+sinx​dx OR (b) Evaluate : ∫04π​​cos3x2sin2x​dx​

1. (a) सत्यापित कीजिए कि r=(1−λ)i^+(λ−2)j^​+(3−2λ)k^ तथा r=(μ+1)i^+(2μ−1)j^​−(2μ+1)k^ द्वारा प्रदत्त रेखाएँ विषमतलीय हैं । अतः इनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए । अथवा (b) एक क्रिकेट मैच में, गेंदबाज, विकेट कीपर और लेग स्लिप क्षेत्र रक्षक की स्थिति एक पंक्ति में हैं तथा B=2i^+8j^​,W=6i^+12j^​ तथा F=12i^+18j^​ द्वारा क्रमशः प्रदत्त है। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें विकेट कीपर, गेंदबाज और लेग स्लिप क्षेत्र रक्षक को मिलाने वाले रेखा खण्ड को विभाजित करता है। (a) Verify that lines given by r=(1−λ)i^+(λ−2)j^​+(3−2λ)k^ and r=(μ+1)i^+(2μ−1)j^​−(2μ+1)k^ are skew lines. Hence, find shortest distance between the lines. OR (b) During a cricket match, the position of the bowler, the wicket keeper and the leg slip fielder are in a line given by B=2i^+8j^​, W=6i^+12j^​ and F=12i^+18j^​ respectively. Calculate the ratio in which the wicketkeeper divides the line segment joining the bowler and the leg slip fielder.

1. (a) किसी शनिवार, एक कक्षा में विद्यार्थियों की अनुपस्थिति की संख्या का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है : X | 0 | 2 | 4 | 5 P(X) | p | 2p | 3p | p जहाँ X, अनुपस्थित रहने वाले विद्यार्थियों की संख्या है। (i) p का मान ज्ञात कीजिए । (1 अंक) (ii) शनिवार को अनुपस्थित रहने वाले विद्यार्थियों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए । (2 अंक) अथवा (b) समाचार पत्र में विज्ञापित रिक्तियों के लिए 3000 उम्मीदवारों ने आवेदन दिए । प्राप्त आँकड़ों से यह पाया गया कि कुल आवेदनकर्ताओं का 2/3 भाग महिलाएँ थीं तथा शेष पुरुष थे । नौकरी के लिए चयन लिखित परीक्षा द्वारा किया गया। आवेदनकर्ताओं के प्रदर्शन से संकेत मिलता है कि लिखित परीक्षा में एक पुरुष के विशिष्ट अंक प्राप्त करने की प्रायिकता 0.4 है, तथा महिला के विशिष्ट अंक प्राप्त करने की प्रायिकता 0.35 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुना गया आवेदक, लिखित परीक्षा में विशिष्ट अंक प्राप्त करने वाला है। (a) The probability distribution for the number of students being absent in a class on a Saturday is as follows: X | 0 | 2 | 4 | 5 P(X) | p | 2p | 3p | p Where X is the number of students absent. (i) Calculate p. (1 mark) (ii) Calculate the mean of the number of absent students on Saturday. (2 marks) OR (b) For the vacancy advertised in the newspaper, 3000 candidates submitted their applications. From the data it was revealed that two third of the total applicants were females and other were males. The selection for the job was done through a written test. The performance of the applicants indicates that the probability of a male getting a distinction in written test is 0.4 and that a female getting a distinction is 0.35. Find the probability that the candidate chosen at random will have a distinction in the written test.

1. y=∣x+3∣ का ग्राफ बनाइए तथा समाकलन के प्रयोग से वक्र तथा x-अक्ष के बीच के उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो x=−6 तथा x=0 के बीच में है। Sketch the graph of y=∣x+3∣ and find the area of the region enclosed by the curve, x-axis, between x=−6 and x=0, using integration.

खण्ड - घ / SECTION-D (4 × 5 = 20)

1. (a) यदि 1−x2​+1−y2​=a(x−y) है, तो सिद्ध कीजिए कि dxdy​=1−x21−y2​​.

अथवा (b) यदि x=a(cosθ+logtan2θ​) तथा y=sinθ है, तो θ=4π​ पर dx2d2y​ ज्ञात कीजिए । (a) If 1−x2​+1−y2​=a(x−y) then prove that dxdy​=1−x21−y2​​. OR (b) If x=a(cosθ+logtan2θ​) and y=sinθ, then find dx2d2y​ at θ=4π​.

1. फलन f(x)=2x3−15x2+36x+1 के [1, 5] में निरपेक्ष उच्चतम तथा निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए । Find the absolute maximum and absolute minimum of function f(x)=2x3−15x2+36x+1 on [1, 5].

1. (a) रेखा 1x​=2y−1​=3z−2​ में बिंदु A(1,6,3) का प्रतिबिंब A' ज्ञात कीजिए । बिंदुओं A तथा A' को मिलाने वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए । अथवा (b) रेखा 1x+5​=4y+3​=−9z−6​ पर एक ऐसा बिंदु P ज्ञात कीजिए जिसकी बिंदु Q(2,4,−1) से दूरी 7 इकाई हो । P तथा Q को मिलाने वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए । (a) Find the image A' of the point A(1,6,3) in the line 1x​=2y−1​=3z−2​. Also, find the equation of the line joining A and A'. OR (b) Find a point P on the line 1x+5​=4y+3​=−9z−6​ such that its distance from point Q(2,4,−1) is 7 units. Also, find the equation of line joining P and Q.

1. एक स्कूल अपने विद्यार्थियों को निम्न शर्तों के साथ तीन क्लबों में आबंटित करना चाहता है : खेल, संगीत और नाटक : • खेल क्लब के विद्यार्थियों की संख्या, संगीत तथा नाटक क्लबों के विद्यार्थियों की संख्या के योगफल के समान हो । • संगीत क्लब के विद्यार्थियों की संख्या, खेल क्लब के विद्यार्थियों की संख्या के आधे से 20 अधिक हो । • इन तीनों क्लबों में आबंटित विद्यार्थियों की कुल संख्या 180 हो । मैट्रिक्स विधि द्वारा विभिन्न क्लबों में आबंटित विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए । A school wants to allocate students into three clubs: Sports, Music and Drama, under following conditions: • The number of students in Sports club should be equal to the sum of the number of students in Music and Drama club. • The number of students in Music club should be 20 more than half the number of students in Sports club. • The total number of students to be allocated in all three clubs are 180. Find the number of students allocated to different clubs, using matrix method.

खण्ड - ङ / SECTION-E (3 × 4 = 12)

1. एक टेक्निकल कम्पनी आयताकार सौर पैनल बना रही है। जिन्हें छत पर लगाने के लिए उसके पास 300 मीटर सीमा पर लगाने की सामग्री है। पैनल के डिजाइन में एक साइड के समांतर विभाजन है जो पैनल को दो भागों में बाँटता है। माना विभाजन के लंबवत वाली भुजा की लंबाई x मीटर तथा इसके समांतर वाली भुजा की लंबाई y मीटर है। A technical company is designing a rectangular solar panel installation on a roof using 300 metres of boundary material. The design includes a partition running parallel to one of the sides dividing the area (roof) into two sections. Let the length of the side perpendicular to the partition be x metres and with parallel to the partition be y metres. उपरोक्त सूचना के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : / Based on this information, answer the following questions: (i) सीमा की कुल सामग्री जो सीमा तथा समांतर विभाजन में प्रयोग होनी है, के प्रयोग से x तथा y में बनी समीकरण ज्ञात कीजिए । (1 अंक) / Write the equation for the total boundary material used in the boundary and parallel to the partition in terms of x and y. (1 mark) (ii) सौर पैनल का क्षेत्रफल x के फलन के रूप में लिखिए । (1 अंक) / Write the area of the solar panel as a function of x. (1 mark) (iii) (a) क्षेत्रफल फलन के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए । द्वितीय अवकलज के प्रयोग से वह क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर क्षेत्रफल अधिकतम है। अधिकतम क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए । (2 अंक) / Find the critical points of the area function. Use second derivative test to determine critical points at the maximum area. Also, find the maximum area. (2 marks) अथवा / OR (iii) (b) प्रथम अवकलज परीक्षण के प्रयोग से 300 मीटर सीमा सामग्री के प्रयोग से परिबद्ध अधिकतम क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ समांतर विभाजन को भी लिया गया है। (2 अंक) / Using first derivative test, calculate the maximum area the company can enclose with the 300 metres of boundary material, considering the parallel partition. (2 marks)

1. एक कक्षा शिक्षक अपने छात्रों द्वारा उन्हें सिखाई गई "संबंधों" की अवधारणा की सीख का आकलन करने के लिए उत्सुक है। वह निम्न पाँच संबंध जिनमें प्रत्येक समुच्चय A={1,2,3} पर परिभाषित है, लिखती है : R1​={(2,3),(3,2)} R2​={(1,2),(1,3),(3,2)} R3​={(1,2),(2,1),(1,1)} R4​={(1,1),(1,2),(3,3),(2,2)} R5​={(1,1),(1,2),(3,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2)} विद्यार्थियों से उपरोक्त संबंधों के लिए निम्न लिखे प्रश्नों का उत्तर देने के लिए कहा जाता है : A class-room teacher is keen to assess the learning of her students the concept of "relations" taught to them. She writes the following five relations each defined on the set A={1,2,3} : R1​={(2,3),(3,2)} R2​={(1,2),(1,3),(3,2)} R3​={(1,2),(2,1),(1,1)} R4​={(1,1),(1,2),(3,3),(2,2)} R5​={(1,1),(1,2),(3,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2)} The students are asked to answer the following questions about the above relations: (i) संबंध ज्ञात कीजिए जो स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। / Identify the relation which is reflexive, transitive but not symmetric. (ii) संबंध ज्ञात कीजिए जो स्वतुल्य और सममित है परन्तु संक्रामक नहीं है। / Identify the relation which is reflexive and symmetric but not transitive. (iii) (a) संबंध ज्ञात कीजिए जो सममित हैं पर न तो स्वतुल्य और न ही संक्रामक है। / Identify the relations which are symmetric but neither reflexive nor transitive. अथवा / OR (iii) (b) संबंध R2​ को तुल्यता संबंध बनाने के लिए जिन युग्मों को जोड़ना होगा, उन्हें लिखिए । (2 अंक) / What pairs should be added to the relation R2​ to make it an equivalence relation? (2 marks)

1. एक बैंक अपने ग्राहकों को विभिन्न प्रकार के ब्याज पर ऋण उपलब्ध कराता है, जैसे कि फिक्स्ड दर, फ्लोटिंग दर और वेरिएबल दर । बैंक के पिछले आँकड़ों से यह ज्ञात है कि ग्राहक फिक्स्ड दर, फ्लोटिंग दर या वेरिएबल दर पर क्रमशः 10%, 20% और 70% प्रायिकता के साथ ऋण प्राप्त करते हैं। ऋण लेने के बाद ग्राहक ऋण का भुगतान कर सकता है या ऋण चुकाने में चूक भी कर सकता है। बैंक के आँकड़ों से पता चलता है कि फिक्स्ड रेट, फ्लोटिंग रेट और वेरिएबल रेट पर ऋण लेने के बाद किसी व्यक्ति द्वारा ऋण भुगतान पर चूक करने की प्रायिकता क्रमशः 5%, 3% और 1% है। A bank offers loan to its customers on different types of interest namely, fixed rate, floating rate and variable rate. From the past data with the bank, it is known that a customer avails loan on fixed rate, floating rate or variable rate with probabilities 10%, 20% and 70% respectively. A customer after availing loan can pay the loan or default on loan repayment. The bank data suggests that the probability that a person defaults on loan after availing it at fixed rate, floating rate and variable rate is 5%, 3% and 1% respectively. उपरोक्त के आधार पर निम्न के उत्तर दीजिए : / Based on the above information, answer the following: (i) ऋण लेने के बाद एक ग्राहक के ऋण चुकाने में चूक करने की क्या प्रायिकता है ? (2 अंक) / What is the probability that a customer after availing the loan will default on the loan repayment? (2 marks) (ii) एक ग्राहक ऋण लेने के बाद चुकाने में चूक करता है। क्या प्रायिकता है कि उसने वेरिएबल दर ब्याज पर ऋण लिया था ? (2 अंक) / A customer after availing the loan, defaults on loan repayment. What is the probability that he availed the loan at a variable rate of interest? (2 marks)

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